Arcos y sectores de un círculo
“Un sector es solo 'círculo completo × la fracción de mi porción (θ/360)'.”
La fórmula
π r² × (θ / 360)Cómo leerla: el área de un sector es el área del círculo completo multiplicada por la fracción que ocupa el ángulo central (θ/360)
- r
- — el radio del círculo
- θ
- — el ángulo central del sector (en grados)
- θ / 360
- — la fracción del círculo completo que ocupa el sector
El gancho
Un sector es en realidad 'una porción de pizza' — solo necesitas saber qué fracción del total es tu porción.
En palabras simples
Un sector es parte de un círculo. Su ángulo central θ ocupa cierta fracción de una vuelta completa (360°), y toma esa misma fracción del área total del círculo (o de su circunferencia).
La intuición
Imagina una pizza entera. Un ángulo central de 90° es un cuarto de vuelta completa, así que tanto el área como la longitud del arco son exactamente un cuarto del total. θ/360 es precisamente 'la fracción que es mi porción'.
Cómo se construye
Dos partes: ① la cantidad total del círculo (área πr², circunferencia 2πr), ② la fracción de tu porción θ/360. Multiplícalas: área del sector = πr²·(θ/360), longitud del arco = 2πr·(θ/360).
Ejemplo
Un sector con radio 6 y ángulo central 90°: área = π·6²·(90/360) = 36π·(1/4) = 9π. Longitud del arco = 2π·6·(1/4) = 3π.
Error común
Es fácil poner el diámetro en lugar del radio, u olvidar el factor θ/360 y responder con el área del círculo completo. Primero define bien 'qué fracción' es.
Dónde se usa
Las porciones de pizza y de pay, el área que barre la manecilla de un reloj, el diseño de pistas circulares, abanicos y aspas — en cualquier lugar donde aparezca una porción de un círculo.
De dónde viene
Arquímedes encontró el área del círculo πr² dividiendo un círculo en infinitas piezas; el sector es la extensión natural de dividir ese círculo según la fracción de un ángulo.
Comprobación rápida
¿Cuál es el área de un sector con radio 6 y ángulo central 90°? (responde como múltiplo de π)
- 3π
- 6π
- 9π✓
- 36π
Práctica
¿Cuál es la longitud del arco de un sector con radio 6 y ángulo central 90°? Responde como el coeficiente de π (por ejemplo, si es 3π, responde 3).
Respuesta: 3
- longitud del arco = 2πr × (θ/360) = 2π·6 × (90/360)
- = 12π × (1/4) = 3π
- el coeficiente de π es 3
Idea clave: La longitud del arco es la 'circunferencia 2πr' multiplicada por la fracción de la porción.
¿Cuál es el área de un círculo completo con radio 5? Responde como el coeficiente de π.
Respuesta: 25
- área de un círculo = πr² = π·5²
- = 25π
- el coeficiente de π es 25
Idea clave: Con un ángulo central de 360° (una vuelta completa), el sector es el círculo entero.
Encuentra el área de un sector con radio 4 y ángulo central 90°, como el coeficiente de π. Además, escribe en tu libreta qué fracción del círculo completo representa.
Respuesta: 4
- 90° es 1/4 de 360°
- área = π·4² × (1/4) = 16π × (1/4) = 4π
- el coeficiente de π es 4
Idea clave: Define primero 'qué fracción' con θ/360 y el cálculo se vuelve fácil.