Conceptos de matemáticas
Una fórmula a la vez — el significado claro, la intuición y de dónde viene.
Números y operaciones
21 conceptosValor Posicional
El valor de un dígito depende de qué lugar (posición) ocupa.
Qué es una fracción
Un número que indica en cuántas partes iguales se corta el entero (abajo) y cuántas tienes (arriba).
Qué Es un Decimal
Un número que agrega cifras a la derecha de un punto (el punto decimal) para escribir partes menores que uno.
a/c ± b/c = (a ± b)/cSumar y restar fracciones
Cuando las porciones son del mismo tamaño (mismo denominador), solo suma o resta cuántas porciones hay (los numeradores).
Multiplicación y División
La multiplicación es sumar el mismo número varias veces; la división es repartir en partes iguales o contar cuántos grupos hay.
a : b = a ÷ bRazón y tasa
Una razón compara dos cantidades como 'esto con aquello'; una tasa convierte eso en un solo número dividiendo.
p = (a ÷ b) × 100Porcentaje
Un número que dice cuánto es la parte cuando el todo se trata como 100. El signo % significa 'de cada 100'.
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖFactorización en primos
Un solo número descompuesto en un producto de solo primos — 2, 3, 5, 7, etcétera.
Los enteros en la recta numérica
Los enteros positivos, el 0 y los enteros negativos ordenados en una sola línea. Mayor hacia la derecha, menor hacia la izquierda.
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)Valor absoluto
Qué tan lejos está un número de 0. Descarta la dirección (el signo) y conserva solo la distancia.
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)Aritmética con números racionales
Las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros y fracciones. La clave es resolver primero el signo, luego calcular los tamaños.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿLeyes de los exponentes
Una potencia es el mismo número multiplicado varias veces. Multiplícalas o divídelas, y solo tienes que sumar o restar los exponentes.
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)Raíces cuadradas
Cuando el cuadrado de un número da a, ese número es una raíz cuadrada de a. √a es la que es 0 o positiva.
Números irracionales y reales
Los números que se pueden escribir como fracción (entero/entero) son racionales; los que no, son irracionales. Juntos forman los reales.
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99Decimales periódicos
Un decimal donde el mismo bloque de dígitos se repite para siempre después del punto. Siempre se puede convertir de nuevo en una fracción.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × bMCD y MCM
El MCD es el número más grande que divide a ambos; el MCM es el número más pequeño que es múltiplo de ambos — el primer lugar donde sus múltiplos se superponen.
i² = −1, z = a + biNúmeros complejos
Introduce un nuevo número i cuyo cuadrado es −1, y todo número puede escribirse como a+bi, una parte real a más una parte imaginaria bi. Eso es un número complejo.
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = eGrupos: el lenguaje de la simetría
Un grupo es un conjunto más una operación, donde la operación obedece cuatro reglas: (1) los resultados nunca se escapan (clausura), (2) el agrupamiento no importa (asociatividad), (3) hay una identidad que no hace nada, y (4) todo elemento tiene un inverso que lo deshace.
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)Aritmética Modular
La aritmética modular es una aritmética que vuelve a 0 después de cierto número n. Dos números son 'congruentes' si dejan el mismo residuo al dividir entre n, escrito a ≡ b (mod n). Solo importa el residuo.
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0El plano complejo y la fórmula de Euler
Ve un número complejo a+bi como un punto (o una flecha) en el plano, y obtienes el plano complejo. La fórmula de Euler e^(iθ)=cos θ+i sin θ dice que la exponencial compleja e^(iθ) es el punto en el círculo unitario rotado por el ángulo θ. En resumen: un exponente imaginario significa rotación.
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|Infinito Numerable
Si los elementos de un conjunto infinito se pueden numerar 1,2,3,… sin dejar ninguno fuera, es «numerablemente infinito». Los naturales, los enteros y los racionales cumplen esto. Sin embargo, los reales no se pueden numerar así ni siquiera en principio — son un infinito mayor.
Álgebra
18 conceptos2x + 3Variables y expresiones
'Duplica un número y súmale 3' escrito de forma compacta con la letra x como 2x+3.
ax + b = 0 → x = −b/aEcuaciones lineales
Una igualdad que es verdadera para exactamente un valor de x. Encontrar ese valor es lo que significa 'resolver la ecuación'.
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂Sistemas de ecuaciones lineales
Encontrar el único par (x, y) que satisface ambas incógnitas a la vez. Se necesitan dos ecuaciones para fijar la respuesta en un solo punto.
ax + b > 0Desigualdades lineales
Una afirmación de que x es mayor o menor que algo. La respuesta no es un solo número sino un 'rango'.
y = ax + bFunciones lineales y sus gráficas
Una regla donde metes x y sale y = 'a por x más b'. Grafícala y siempre obtienes una línea recta.
(a + b)² = a² + 2ab + b²Productos Notables
(a+b)² no es a²+b²; un 2ab se cuela en el medio, dando a²+2ab+b².
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)Factorización
Convertir algo como x²+5x+6 en un 'producto de dos expresiones' como (x+2)(x+3). Es exactamente lo contrario de desarrollar.
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación con un x², ax²+bx+c=0. Tiene como máximo dos soluciones, y sustituir a, b, c en la fórmula general siempre las produce.
y = a(x − p)² + qFunciones cuadráticas
y = a(x−p)² + q. La gráfica es una parábola, y el vértice (p, q) es su 'punta' (el punto más alto o más bajo).
y = aˣ ⇔ x = logₐ yFunciones exponenciales y logarítmicas
aˣ multiplica a por sí mismo x veces; logₐ y pregunta a la inversa '¿cuántas veces debo multiplicar a para llegar a y?'. Exponente y logaritmo se deshacen entre sí.
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹Sucesiones aritméticas y geométricas
Una sucesión aritmética suma un número fijo d al término anterior cada vez; una sucesión geométrica multiplica el término anterior por un número fijo r cada vez.
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2Notación sigma y series
Σ es una orden: 'sustituye desde el valor inferior hasta el valor superior y súmalos todos'. Σₖ₌₁ⁿ k es la suma de 1 a n.
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼMatrices
Una matriz ordena números en filas y columnas. Para multiplicar dos matrices, emparejas una 'fila de la izquierda' con una 'columna de la derecha', multiplicas y sumas.
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏEl teorema del binomio
Al expandir (a+b)ⁿ, el coeficiente de cada término es ₙCₖ: el número de formas de elegir b en k de los n paréntesis.
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)Transformaciones lineales
Una transformación lineal mueve cada punto del plano (o del espacio) manteniendo las líneas de la cuadrícula rectas, igualmente espaciadas, y el origen fijo. Este movimiento ordenado queda capturado por completo en una sola matriz.
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0Valores y Vectores Propios
Aplica la transformación A y la mayoría de los vectores son desviados de su dirección. Pero ciertos vectores especiales v mantienen su dirección y solo se escalan por un factor λ. Ese v es un vector propio, y el factor λ es su valor propio.
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ VEspacios vectoriales
Un espacio vectorial es un conjunto cuyos elementos nunca lo abandonan al sumarlos entre sí o multiplicarlos por un número real. Esas dos operaciones solo necesitan cumplir unas pocas reglas naturales.
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bcEl Determinante
El determinante de una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] es ad − bc. Este número indica el factor por el cual la matriz escala el área de cualquier figura.
Geometría
16 conceptosÁngulos
Qué tan separadas están dos líneas (lados) que parten de un mismo punto. Medimos esa separación en grados (°).
▭ S = a × b △ S = c × h ÷ 2Área de rectángulos y triángulos
La cantidad de espacio plano que cubre una figura, contada como cuántos cuadrados unitarios caben dentro.
▭ P = 2 × (a + b) ⬛ P = 4 × aPerímetro
La longitud total del contorno una vez alrededor — simplemente suma todos los lados.
V = a × b × cVolumen de una caja
La cantidad de espacio que ocupa un sólido, contada como cuántos cubos de 1 cm caben dentro.
Simetría axial
La propiedad de que, al doblar por una línea (el eje), las dos mitades coinciden exactamente.
a² + b² = c²El teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, eleva al cuadrado cada uno de los dos lados más cortos y súmalos, y llegas exactamente al cuadrado de la hipotenusa.
△ABC ≅ △DEFTriángulos Congruentes
Que dos triángulos sean congruentes significa que puedes rotar o voltear uno sobre el otro perfectamente. Cada lado y ángulo correspondiente es igual.
a : a' = b : b' = c : c' = kSemejanza
Que dos figuras sean semejantes significa que todos los ángulos correspondientes son iguales y todos los lados correspondientes son el mismo múltiplo (k veces) uno del otro.
(n − 2) × 180°Ángulos Internos y Externos de Polígonos
Suma los ángulos internos de un n-ágono y obtienes (n−2) × 180°. Y los ángulos externos de un polígono convexo siempre suman 360°.
π r² × (θ / 360)Arcos y sectores de un círculo
Un sector es parte de un círculo. Su ángulo central θ ocupa cierta fracción de una vuelta completa (360°), y toma esa misma fracción del área total del círculo (o de su circunferencia).
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)Distancia en el Plano Cartesiano
Halla la diferencia horizontal y la diferencia vertical entre los dos puntos y forman un triángulo rectángulo; el segmento que une los puntos es su hipotenusa. Así que la distancia es √(horizontal² + vertical²).
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adjRazones trigonométricas
Elige un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo, y las razones entre sus lados quedan fijadas solo por ese ángulo. Esas razones son sin, cos y tan.
sin²θ + cos²θ = 1Funciones trigonométricas
En un círculo de radio 1, tras girar un ángulo θ, la posición vertical del punto es sinθ y su posición horizontal es cosθ. tanθ es su razón.
(x − a)² + (y − b)² = r²La ecuación de la circunferencia
Los puntos (x,y) cuya distancia al centro (a,b) es siempre r forman la circunferencia. Escribir esa condición como ecuación da (x−a)²+(y−b)²=r².
|v| = √(x² + y²)Vectores
Un vector es una flecha que lleva magnitud y dirección a la vez. Moverse x hacia el lado e y hacia arriba se escribe (x,y).
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθProducto Punto y Producto Cruz
El producto punto a·b es un solo número que mide qué tan alineados están dos vectores. El producto cruz a×b es un vector nuevo perpendicular al plano que generan los dos vectores.
Análisis y cálculo
21 conceptoslim(n→∞) aₙ = LEl límite de una sucesión
Conforme llevas el número de término n al infinito, si los términos se acercan cada vez más a un único número L, entonces L es el límite de la sucesión.
lim(x→a) f(x) = LLímites
Acerca x cada vez más a un valor a, y observa a qué número se aproxima la función.
lim(x→a) f(x) = f(a)Continuidad
Si el valor que esperabas al acercarte (el límite) coincide exactamente con el valor que realmente está marcado en ese punto, la curva pasa por ahí sin interrupción.
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / hLa Derivada — Pendiente en un Instante
Toma la pendiente entre dos puntos (subida ÷ avance), y luego deslízalos infinitamente cerca para obtener «la pendiente en un solo punto».
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹La Regla de la Potencia
La función pendiente de xⁿ es: multiplica al frente por el exponente n, y reduce el exponente a n−1.
(f·g)' = f'·g + f·g'La regla del producto
Para derivar un producto de dos funciones, deriva una a la vez y suma los dos resultados.
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)La regla de la cadena
Para derivar una composición (una función dentro de otra), multiplica la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
f'(x) = 0Puntos Críticos — Donde la Pendiente Es Cero
Iguala la derivada a 0 y resuelve; los valores de x que obtienes son donde la tangente se vuelve plana — candidatos a máximo o mínimo.
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩Concavidad y la segunda derivada
La segunda derivada f'' es la tasa de cambio de la pendiente. Su signo te dice si la curva se dobla como una copa (∪) o como un gorro (∩).
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·ΔxLa integral — acumulando área
El área bajo una curva, rellenada con muchos rectángulos muy angostos cuyas áreas sumas. Lleva su ancho a 0 y obtienes el área exacta.
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)La Integral Definida
El área sobre [a,b], calculada no mediante una suma de Riemann sino hallando una antiderivada F y tomando F(b)−F(a).
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)El teorema fundamental del cálculo
Deriva la función que ha ido acumulando área desde a hasta x, y la función original f(x) reaparece de inmediato. Derivación e integración son inversas.
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828El Número e
Toma un interés del 100%, divídelo en pasos de capitalización cada vez más finos, y a medida que el número de pasos tiende a infinito, el resultado se acerca a e ≈ 2.718.
ln x = y ⇔ eʸ = xEl Logaritmo Natural
ln x responde 'a qué potencia hay que elevar e para obtener x'. En otras palabras, es la inversa de la exponencial eˣ.
d/dx eˣ = eˣDerivando la exponencial — eˣ es su propia pendiente
La función pendiente de eˣ es eˣ otra vez. En cualquier punto, la altura ahí es exactamente la pendiente ahí.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²Aproximación de Taylor: curvas como polinomios
Una función complicada aproximada, cerca de un punto, por un polinomio simple ajustado para compartir allí el mismo valor, la misma pendiente y la misma curvatura.
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εLa definición ε–δ de límite
Si, por pequeño que sea el error ε que tu oponente elija, puedes reducir la ventana de entrada δ de modo que f(x) se mantenga a menos de ε de L, entonces el límite es L.
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1Convergencia de series
La 'suma' de una serie infinita no se suma literalmente hasta el final. Formas la suma parcial de los primeros N términos; si ese valor se aproxima a algún número S conforme N crece, la serie 'converge a S'.
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂yDerivadas Parciales
Para una función de dos o más variables, congelas todas las variables excepto la que te interesa, y luego tomas una derivada ordinaria.
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dyIntegrales Múltiples
Divides la región base R en pequeños rectángulos, multiplicas el área de cada trozo por la altura de la función encima para formar una columnita, y sumas todas las columnas.
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)Series de Fourier
Una función periódica puede escribirse exactamente como una suma de senos y cosenos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de una base. Solo necesitas decidir cuánto de cada tono puro entra (los coeficientes aₙ, bₙ).
Probabilidad y estadística
14 conceptosN = m × nConteo de Casos
Las cosas que no pueden ocurrir juntas se SUMAN (la regla de la suma); las cosas que ocurren una tras otra se MULTIPLICAN (la regla del producto).
P(A) = a / nQué significa la probabilidad
Cuenta los resultados igualmente probables y luego toma la proporción de ellos que son los que esperas.
P(Aᶜ) = 1 − P(A)Eventos complementarios
La probabilidad de que algo NO ocurra es la probabilidad total 1 menos la probabilidad de que sí ocurra.
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / nMedidas de Tendencia Central
La media es la suma dividida entre la cantidad, la mediana es el valor central al ordenarlos, y la moda es el valor que más se repite.
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / nDispersión: varianza y desviación estándar
El promedio de las desviaciones al cuadrado de cada valor respecto a la media es la varianza; su raíz cuadrada es la desviación estándar.
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)Permutaciones y Combinaciones
Elegir r de entre n elementos: si el orden en que los elegiste importa, es una permutación (P); si solo importa 'quién quedó elegido', es una combinación (C).
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)Probabilidad Condicional
Dado que el evento A ya ocurrió, es la probabilidad de que B ocurra bajo esa condición. Reduces el mundo a A y luego pesas B.
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏLa distribución binomial
Es la distribución de la probabilidad de obtener k éxitos al realizar n ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito p.
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68La Distribución Normal
Una distribución con forma de campana, simétrica respecto a su media. Los datos se agrupan más densamente cerca de la media y se dispersan rápidamente al alejarse.
E(X) = Σ xᵢ pᵢValor esperado y varianza
Cuando conoces las probabilidades de los resultados, es cada valor por su probabilidad, todo sumado. Repítelo muchísimas veces y es el 'promedio a largo plazo' al que todo se acerca.
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)El teorema de Bayes
El teorema de Bayes es la regla para actualizar una creencia con nueva evidencia. Toma la probabilidad de A antes de ver B (la previa), multiplícala por qué tan probable es B si A es cierto, divide entre la probabilidad total de B, y obtienes la probabilidad de A tras ver B (la posterior).
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)La ley de los grandes números
La ley de los grandes números dice que si repites el mismo experimento aleatorio muchas veces, el promedio de los resultados se acerca cada vez más al valor esperado teórico μ. Los resultados individuales siguen siendo impredecibles, pero el promedio se vuelve predecible.
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)El teorema del límite central
El teorema del límite central dice que sin importar la forma de la distribución original —plana o sesgada—, si reúnes muchas muestras independientes y tomas su promedio (o suma), la distribución de esos promedios se aproxima a la forma normal (de campana).
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πCadenas de Márkov
Es un proceso que salta aleatoriamente entre estados, donde la probabilidad del siguiente estado depende solo del estado actual y para nada del camino seguido para llegar ahí. Esta 'ausencia de memoria' es la propiedad de Márkov.
Matemática discreta y lógica
4 conceptosn(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)Conjuntos y diagramas de Venn
El tamaño de la unión es la suma de los tamaños de los dos conjuntos, menos la superposición (la intersección) restada exactamente una vez.
(p → q) ≡ (~q → ~p)Proposiciones: verdadero o falso
Una proposición es una oración que puedes juzgar claramente como verdadera o falsa. Un condicional como 'si p entonces q' siempre comparte el mismo valor de verdad que su contrapositiva.
G = (V, E), Σ(v∈V) deg(v) = 2|E|Teoría de grafos
Un grafo es una colección de puntos (vértices) y líneas (aristas) que los unen. Solo registra qué está conectado con qué, descartando posición, forma y distancia. Es un mapa de relaciones reducido a su esqueleto.
[ P(1) ∧ ( P(k) ⟹ P(k+1) ) ] ⟹ ∀n ≥ 1, P(n)Inducción matemática
La inducción matemática demuestra enunciados verdaderos 'para todo número natural n'. (1) Muestra que se cumple en n=1 (la base), y (2) muestra que si se cumple en n=k debe cumplirse en n=k+1 (el paso); como fichas de dominó, todas caen.
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