Probabilidad Condicional
“La probabilidad condicional vuelve a medir B después de «reducir el mundo a A».”
La fórmula
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)Cómo leerla: la probabilidad de B dado que A ocurrió es la probabilidad de A y B juntos, dividida entre la probabilidad de A
- P(B|A)
- — la probabilidad de B dado que A ya ocurrió
- P(A∩B)
- — la probabilidad de que A y B ocurran ambos
- P(A)
- — la probabilidad del evento condicionante A
El gancho
«La probabilidad de lluvia» y «la probabilidad de lluvia dado un cielo nublado» son distintas — un solo dato nuevo puede reescribir la probabilidad por completo.
En palabras simples
Dado que el evento A ya ocurrió, es la probabilidad de que B ocurra bajo esa condición. Reduces el mundo a A y luego pesas B.
La intuición
En cuanto aparece una condición, el «conjunto total de casos» cambia. Te quedas solo con el «mundo donde A ocurrió» en vez del espacio muestral completo, y vuelves a medir la parte de B dentro de él. Por eso divides A∩B entre A — el denominador se reduce de todo a solo A.
Cómo se construye
Arriba está donde ocurren A y B a la vez, P(A∩B); abajo está el nuevo total reducido, P(A). Reordenado, esto da P(A∩B)=P(A)·P(B|A), la «regla de multiplicación» que encadena eventos sucesivos.
Ejemplo
Lanza un dado con A=par (2,4,6), B=al menos 4 (4,5,6). Dado que es par, ¿cuál es la probabilidad de que sea ≥4? De los 3 pares, {4,6} son ≥4 → 2/3. También por fórmula: (2/6)/(3/6)=2/3.
Error común
P(B|A) y P(A|B) no son lo mismo. Confundir «la probabilidad de dar positivo dado que se tiene la enfermedad» con «la probabilidad de tener la enfermedad dado un resultado positivo» causa errores fatales en medicina y en los tribunales.
Dónde se usa
Diagnóstico médico (probabilidad de enfermedad dado un test positivo), filtros de spam, algoritmos de recomendación, ponderar evidencia en juicios — en cualquier lugar donde «actualices un juicio con nueva información».
De dónde viene
La idea de invertir una probabilidad condicional para inferir una causa llevó al teorema del reverendo Bayes en el siglo XVIII, hoy la columna vertebral de la inferencia en IA.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Si P(A)=0.5 y P(A∩B)=0.2, ¿cuál es P(B|A)?
- 0.2
- 0.4✓
- 0.5
- 0.7
Práctica
Si P(A)=0.4 y P(A∩B)=0.1, halla P(B|A).
Respuesta: 0.25
- P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 0.1/0.4
- = 0.25
Idea clave: Divide la probabilidad conjunta entre la probabilidad de la condición.
Dado que el resultado de un dado fue par, halla la probabilidad de que el número sea al menos 4.
Respuesta: 0.667
- Los pares son {2,4,6}, tres en total
- De estos, ≥4 son {4,6}, dos en total
- 2/3 ≈ 0.667
Idea clave: La condición reduce el espacio muestral a los pares.
Si P(A)=0.6 y P(A∩B)=0.3, halla P(B|A).
Respuesta: 0.5
- 0.3 / 0.6
- = 0.5
Idea clave: El denominador es el nuevo total reducido.
Explica en una línea por qué el denominador es P(A) en la probabilidad condicional.
Respuesta: undefined
- Saber que A ocurrió reduce todo el mundo a A
- Ahora la parte de B debe medirse «dentro de A»
- Por eso dividimos entre P(A)
Idea clave: Una condición es una lente que convierte a A en el nuevo total.