Valores y Vectores Propios
“Un vector propio es la dirección que no se tambalea bajo una transformación; el valor propio es cuánto se escala.”
La fórmula
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0Cómo leerla: un vector propio v mantiene su dirección bajo A y solo se escala por λ; ese factor λ es el valor propio
- A
- — una matriz cuadrada—una transformación del espacio
- v
- — el vector propio—un vector cuya dirección no cambia bajo la transformación
- λ
- — el valor propio—el factor por el cual esa dirección se estira o se encoge
- det(A−λI)=0
- — la ecuación característica que halla los valores propios
El gancho
Por más que una matriz haga girar el espacio, hay ejes especiales que nunca cambian de dirección.
En palabras simples
Aplica la transformación A y la mayoría de los vectores son desviados de su dirección. Pero ciertos vectores especiales v mantienen su dirección y solo se escalan por un factor λ. Ese v es un vector propio, y el factor λ es su valor propio.
La intuición
Ve una transformación como «estirar y girar el espacio», y los vectores propios son como su eje de rotación—las direcciones que no se tambalean. Así como los puntos en el eje de rotación de la Tierra mantienen su dirección mientras el planeta gira, la dirección de un vector propio se preserva bajo la transformación. λ indica cuánto se estira ese eje.
Cómo se construye
Reordenando Av=λv se obtiene (A−λI)v=0. Para que esto tenga una solución con v≠0, la matriz A−λI debe ser «plana», y esa condición es det(A−λI)=0. Resolver esta ecuación característica para λ da los valores propios; sustituyendo cada λ de vuelta da los vectores propios.
Ejemplo
Para A=[[2,1],[1,2]]: det([[2−λ,1],[1,2−λ]]) = (2−λ)²−1 = λ²−4λ+3 = (λ−1)(λ−3) = 0, así que λ=1, 3. El vector propio para λ=3 es (1,1): A(1,1)=(3,3)=3(1,1). Para λ=1 es (1,−1): A(1,−1)=(1,−1).
Error común
Un vector propio no es una flecha de una longitud particular—es una dirección. Si (1,1) es un vector propio, también lo son (2,2) y (−5,−5): todos el mismo vector propio (misma dirección). Lo que importa es la dirección y su escala λ, no el tamaño.
Dónde se usa
El PageRank de Google (un vector propio de la web), las frecuencias naturales de vibración y resonancia, los niveles de energía en mecánica cuántica, el análisis de componentes principales (PCA), la estabilidad estructural de puentes y edificios—los valores propios aparecen siempre que buscas los «ejes naturales» de un sistema.
De dónde viene
Euler sembró la semilla estudiando la rotación, y Hilbert añadió «eigen» (alemán para «propio») a principios del siglo XX. Con la mecánica cuántica se convirtió en un lenguaje central de la física.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es un valor propio de la matriz diagonal [[3,0],[0,5]]?
- 4
- 3✓
- 0
- 8
Práctica
Halla el mayor de los dos valores propios de A=[[2,0],[0,7]].
Respuesta: 7
- los valores propios de una matriz diagonal son sus entradas diagonales 2 y 7
- el mayor es 7
Idea clave: Para matrices diagonales o triangulares, las entradas diagonales son los valores propios.
Halla el valor propio de la matriz triangular superior A=[[4,1],[0,4]].
Respuesta: 4
- los valores propios de una matriz triangular son las entradas diagonales
- ambos son 4 (un valor propio repetido)
Idea clave: Para una matriz triangular, det(A−λI) se factoriza directamente en las entradas diagonales.
Resuelve det(A−λI)=0 para A=[[2,1],[1,2]] y halla el mayor valor propio.
Respuesta: 3
- (2−λ)² − 1 = λ² − 4λ + 3
- = (λ−1)(λ−3) = 0 → λ=1, 3
- el mayor es 3
Idea clave: La ecuación característica det(A−λI)=0 da los valores propios.
Verifica que (1,1) es un vector propio de A=[[2,1],[1,2]] y halla su valor propio.
Respuesta: undefined
- A(1,1) = (2·1+1·1, 1·1+2·1) = (3,3)
- (3,3) = 3·(1,1), así que la dirección se preserva, valor propio λ=3
Idea clave: Para verificar un vector propio, basta ver si Av es un múltiplo escalar de v.