Matrices
“Un producto de matrices empareja 'filas de la izquierda' con 'columnas de la derecha' y suma.”
La fórmula
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼCómo leerla: cada entrada de un producto de matrices multiplica la fila i de la matriz izquierda por la columna j de la derecha, y luego suma los resultados
- A, B
- — matrices — números ordenados en un rectángulo
- (AB)ᵢⱼ
- — la entrada en la fila i, columna j del producto AB
- aᵢₖ, bₖⱼ
- — las entradas de la fila i de A y la columna j de B que se emparejan
El gancho
Una matriz es solo números ordenados en una caja, y sin embargo una sola regla de multiplicación le permite manejar rotaciones, transformaciones y sistemas de ecuaciones a la vez.
En palabras simples
Una matriz ordena números en filas y columnas. Para multiplicar dos matrices, emparejas una 'fila de la izquierda' con una 'columna de la derecha', multiplicas y sumas.
La intuición
La suma y el escalado son fáciles — solo manejas las posiciones correspondientes. La multiplicación es la especial: una fila de la matriz izquierda 'cae sobre' una columna de la derecha, multiplicando entrada por entrada y sumando. Esa regla te permite transformar muchas ecuaciones de un solo golpe.
Cómo se construye
La entrada aᵢⱼ significa fila i, columna j. La entrada (i,j) de AB multiplica toda la fila i de A por toda la columna j de B, en orden, y suma. Así que el número de columnas de la matriz izquierda debe igualar el número de filas de la derecha para que el producto exista.
Ejemplo
[[1,2],[3,4]]×[[5,6],[7,8]], entrada (1,1) = (1·5)+(2·7) = 5+14 = 19. Haciendo el resto de la misma manera se obtiene [[19,22],[43,50]].
Error común
AB y BA suelen ser distintos — la multiplicación de matrices no es conmutativa. Cambia el orden y el resultado cambia, o el producto puede ni siquiera estar definido.
Dónde se usa
Rotaciones y escalado en gráficos por computadora, resolver sistemas lineales, transformaciones de datos en estadística, la aritmética dentro de las redes neuronales — casi en cualquier lugar donde transformas muchos números juntos.
De dónde viene
Cayley formalizó las matrices en el siglo XIX; el nombre 'matriz' viene de una palabra latina para 'útero', algo de lo cual nacen otras cosas.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Qué obtienes al multiplicar una matriz A por la matriz identidad I?
- La matriz cero
- A sin cambios✓
- La transpuesta de A
- Siempre I
Práctica
Halla la entrada (1,2) de [[2,1],[0,3]] + [[1,4],[5,2]].
Respuesta: 5
- La suma es entrada por entrada
- entrada (1,2): 1 + 4 = 5
Idea clave: La suma de matrices suma posiciones correspondientes.
Halla la entrada (2,2) de 3 × [[1,−2],[0,4]] (múltiplo escalar).
Respuesta: 12
- La multiplicación por escalar multiplica cada entrada
- entrada (2,2): 3·4 = 12
Idea clave: Un escalar multiplica cada celda por igual.
Halla la entrada (2,2) de [[1,2],[3,4]] × [[0,1],[1,0]].
Respuesta: 3
- Empareja la fila 2 (3,4) con la columna 2 (1,0)
- 3·1 + 4·0 = 3
Idea clave: Un producto multiplica fila por columna, entrada por entrada, y suma.
Para A=[[1,0],[0,0]] y B=[[0,1],[0,0]], calcula AB y BA y muestra que son distintos.
Respuesta: undefined
- AB = [[0,1],[0,0]]
- BA = [[0,0],[0,0]]
- AB ≠ BA — el orden del producto importa
Idea clave: Cambiar el orden de un producto de matrices cambia el resultado.