Álgebra
18 conceptos
2x + 3Variables y expresiones
'Duplica un número y súmale 3' escrito de forma compacta con la letra x como 2x+3.
ax + b = 0 → x = −b/aEcuaciones lineales
Una igualdad que es verdadera para exactamente un valor de x. Encontrar ese valor es lo que significa 'resolver la ecuación'.
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂Sistemas de ecuaciones lineales
Encontrar el único par (x, y) que satisface ambas incógnitas a la vez. Se necesitan dos ecuaciones para fijar la respuesta en un solo punto.
ax + b > 0Desigualdades lineales
Una afirmación de que x es mayor o menor que algo. La respuesta no es un solo número sino un 'rango'.
y = ax + bFunciones lineales y sus gráficas
Una regla donde metes x y sale y = 'a por x más b'. Grafícala y siempre obtienes una línea recta.
(a + b)² = a² + 2ab + b²Productos Notables
(a+b)² no es a²+b²; un 2ab se cuela en el medio, dando a²+2ab+b².
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)Factorización
Convertir algo como x²+5x+6 en un 'producto de dos expresiones' como (x+2)(x+3). Es exactamente lo contrario de desarrollar.
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación con un x², ax²+bx+c=0. Tiene como máximo dos soluciones, y sustituir a, b, c en la fórmula general siempre las produce.
y = a(x − p)² + qFunciones cuadráticas
y = a(x−p)² + q. La gráfica es una parábola, y el vértice (p, q) es su 'punta' (el punto más alto o más bajo).
y = aˣ ⇔ x = logₐ yFunciones exponenciales y logarítmicas
aˣ multiplica a por sí mismo x veces; logₐ y pregunta a la inversa '¿cuántas veces debo multiplicar a para llegar a y?'. Exponente y logaritmo se deshacen entre sí.
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹Sucesiones aritméticas y geométricas
Una sucesión aritmética suma un número fijo d al término anterior cada vez; una sucesión geométrica multiplica el término anterior por un número fijo r cada vez.
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2Notación sigma y series
Σ es una orden: 'sustituye desde el valor inferior hasta el valor superior y súmalos todos'. Σₖ₌₁ⁿ k es la suma de 1 a n.
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼMatrices
Una matriz ordena números en filas y columnas. Para multiplicar dos matrices, emparejas una 'fila de la izquierda' con una 'columna de la derecha', multiplicas y sumas.
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏEl teorema del binomio
Al expandir (a+b)ⁿ, el coeficiente de cada término es ₙCₖ: el número de formas de elegir b en k de los n paréntesis.
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)Transformaciones lineales
Una transformación lineal mueve cada punto del plano (o del espacio) manteniendo las líneas de la cuadrícula rectas, igualmente espaciadas, y el origen fijo. Este movimiento ordenado queda capturado por completo en una sola matriz.
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0Valores y Vectores Propios
Aplica la transformación A y la mayoría de los vectores son desviados de su dirección. Pero ciertos vectores especiales v mantienen su dirección y solo se escalan por un factor λ. Ese v es un vector propio, y el factor λ es su valor propio.
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ VEspacios vectoriales
Un espacio vectorial es un conjunto cuyos elementos nunca lo abandonan al sumarlos entre sí o multiplicarlos por un número real. Esas dos operaciones solo necesitan cumplir unas pocas reglas naturales.
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bcEl Determinante
El determinante de una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] es ad − bc. Este número indica el factor por el cual la matriz escala el área de cualquier figura.
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