Factorización
“Factorizar es encontrar dos números que 'multiplican la constante, suman el coeficiente'.”
La fórmula
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)Cómo leerla: agrupa usando dos números que sumen el coeficiente lineal y multipliquen la constante
- a + b
- — el coeficiente de x = la suma de los dos números
- ab
- — el término constante = el producto de los dos números
- (x + a)(x + b)
- — la forma factorizada como producto
El gancho
Factorizar es leer las fórmulas de multiplicación al revés — rebobinar una expresión desarrollada de vuelta a un 'producto'.
En palabras simples
Convertir algo como x²+5x+6 en un 'producto de dos expresiones' como (x+2)(x+3). Es exactamente lo contrario de desarrollar.
La intuición
Es recuperar el 'ancho y alto' de un rectángulo cuya área es x²+5x+6. Encuentra los dos números (2 y 3) que multiplican a la constante 6 y suman el coeficiente central 5, y listo.
Cómo se construye
Para la forma x²+(a+b)x+ab, encuentra dos números a, b que 'sumen el coeficiente central y multipliquen la constante'. Entonces se factoriza como (x+a)(x+b). También hay que igualar los signos.
Ejemplo
x²+5x+6: dos números que multiplican a 6 y suman 5 son 2 y 3 → (x+2)(x+3). Multiplica de vuelta y efectivamente es x²+5x+6.
Error común
Los signos se pierden fácilmente — x²−5x+6 multiplica a +6 y suma −5, así que son −2 y −3, es decir (x−2)(x−3). Tampoco olvides extraer primero un factor común (el 2x en 2x²+6x).
Dónde se usa
Es el camino más rápido para resolver ecuaciones cuadráticas, y una herramienta general para simplificar fracciones y expresiones complicadas.
De dónde viene
Separar en 'factores' extiende la antigua tradición de descomponer números en factores primos, trasladada a expresiones con letras.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Factoriza x² − 9.
- (x + 3)(x − 3)✓
- (x − 3)²
- (x + 9)(x − 1)
- (x + 3)²
Práctica
Factoriza x² + 7x + 12.
Respuesta: 0
- Dos números que multiplican a 12 y suman 7: 3 y 4
- (x + 3)(x + 4)
Idea clave: Producto = constante, suma = coeficiente lineal.
Factoriza x² − x − 6.
Respuesta: undefined
- Dos números que multiplican a −6 y suman −1: −3 y 2
- (x − 3)(x + 2)
Idea clave: Una constante negativa → los dos números tienen signos opuestos.
Factoriza 2x² + 6x.
Respuesta: undefined
- Extrae primero el factor común 2x
- 2x(x + 3)
Idea clave: Siempre extrae primero un factor común.