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“El secreto de (a+b)² es el 2ab que se cuela en el medio.”
La fórmula
(a + b)² = a² + 2ab + b²Cómo leerla: el cuadrado de una suma es cada cuadrado más 2ab
- a, b
- — los dos términos que se suman
- 2ab
- — el término medio que es fácil olvidar
- (a + b)²
- — el área de un cuadrado de lado a+b
El gancho
No hace falta desarrollar (a+b)² a mano cada vez — una imagen de área graba el patrón en tus ojos.
En palabras simples
(a+b)² no es a²+b²; un 2ab se cuela en el medio, dando a²+2ab+b².
La intuición
Dibuja un cuadrado de lado a+b. Se divide en cuatro piezas — un cuadrado a², un cuadrado b², y 'dos' rectángulos a×b. Esos dos rectángulos son exactamente el 2ab.
Cómo se construye
Tres fórmulas clave — (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b², y (a+b)(a−b)=a²−b². Las dos primeras tienen el '2ab del medio'; la última pierde el medio y deja una diferencia de cuadrados.
Ejemplo
(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x²+6x+9. Ese 6x del medio es el espacio del 2ab.
Error común
(a+b)² ≠ a²+b². Olvidar el 2ab es el error más común del álgebra. Siempre hay un término medio.
Dónde se usa
Reduce una multiplicación complicada a una sola línea y acelera el cálculo mental — y es la clave que, leída al revés, te lleva al siguiente paso: la factorización.
De dónde viene
Estas relaciones aparecen en el Libro II de los 'Elementos' de Euclides como teoremas geométricos sobre 'dividir áreas', con sus diagramas incluidos.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Desarrolla (x + 2)².
- x² + 4x + 4✓
- x² + 4
- x² + 2x + 4
- x² + 4x + 2
Práctica
Usa un producto notable para calcular 102².
Respuesta: 10404
- 102² = (100 + 2)²
- = 100² + 2·100·2 + 2² = 10000 + 400 + 4
- = 10404
Idea clave: La fórmula (a+b)² eleva al cuadrado números grandes de forma mental.
Usa un producto notable para calcular 21 × 19.
Respuesta: 399
- 21 × 19 = (20 + 1)(20 − 1)
- = 20² − 1² = 400 − 1
- = 399
Idea clave: Una suma por una diferencia es a²−b² — el término medio desaparece.
Desarrolla (x + 5)².
Respuesta: undefined
- (x+5)² = x² + 2·x·5 + 5²
- = x² + 10x + 25
Idea clave: No olvides el término medio 10x (=2ab).