Funciones cuadráticas
“Una cuadrática es una parábola; su vértice es el pico o el fondo.”
La fórmula
y = a(x − p)² + qCómo leerla: una parábola con vértice (p, q)
- a
- — la dirección en que se abre (signo) y su anchura (tamaño)
- (p, q)
- — el vértice de la parábola — el punto máximo o mínimo
- x
- — el valor de entrada
El gancho
Si una recta es una función lineal, una cuadrática es una parábola — la misma curva que traza una pelota lanzada.
En palabras simples
y = a(x−p)² + q. La gráfica es una parábola, y el vértice (p, q) es su 'punta' (el punto más alto o más bajo).
La intuición
Si a>0 es una copa hacia arriba (∪), así que el vértice es el 'punto más bajo'; si a<0 es una tapa hacia abajo (∩), así que el vértice es el 'punto más alto'. Cuanto mayor sea |a|, más angosta y empinada es.
Cómo se construye
La forma y=ax²+bx+c, reordenada completando el cuadrado, se convierte en y=a(x−p)²+q, revelando el vértice (p,q). p es la posición del eje de simetría, q es la altura ahí.
Ejemplo
y=x²−2x−3 = (x−1)²−4. Vértice (1,−4); como a=1>0, es una parábola hacia arriba con su punto más bajo en (1,−4). La intersección con el eje y es −3 (en x=0).
Error común
Si te equivocas con el signo de a, cambias máximo por mínimo — a>0 da un mínimo (un fondo), a<0 da un máximo (un pico). La coordenada x del vértice también es engañosa, ya que (x−p) usa p.
Dónde se usa
Antenas parabólicas, el arco de una fuente, problemas de área máxima y ganancia máxima — en cuanto preguntas 'dónde es más grande o más pequeño', una cuadrática responde.
De dónde viene
La parábola se dio la mano con la física cuando Galileo demostró que la trayectoria de un objeto lanzado es exactamente esta curva.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es el vértice de y = (x − 2)² + 3?
- (2, 3)✓
- (−2, 3)
- (2, −3)
- (3, 2)
Práctica
Para y = x², ¿cuánto es y cuando x = 3?
Respuesta: 9
- y = 3²
- = 9
Idea clave: Una cuadrática también da un solo y para cada x.
¿Cuál es la coordenada x del vértice de y = (x − 1)² − 4?
Respuesta: 1
- En la forma canónica a(x−p)²+q, p es la coordenada x
- (x − 1)² da p = 1
Idea clave: En (x − p), p es la coordenada x del vértice.
¿Cuál es la coordenada x del vértice de y = x² − 4x + 3?
Respuesta: 2
- Eje de simetría x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1)
- = 4/2 = 2
Idea clave: La coordenada x del vértice sale directo de −b/2a.
Reescribe y = x² − 4x + 3 completando el cuadrado y halla el vértice.
Respuesta: undefined
- x² − 4x = (x − 2)² − 4
- y = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1
- vértice (2, −1)
Idea clave: Completar el cuadrado revela el vértice de inmediato.