Ecuaciones cuadráticas
“Las soluciones de una cuadrática son donde la parábola toca el eje x.”
La fórmula
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)Cómo leerla: las dos raíces de una cuadrática se obtienen sustituyendo a, b, c en la fórmula general
- a, b, c
- — los coeficientes de los términos x², x y constante (a ≠ 0)
- b² − 4ac
- — el discriminante — determina el número de raíces
- ±
- — el signo que da ambas raíces a la vez
El gancho
Algunas cuadráticas no se pueden factorizar — y cuando no se puede, la fórmula general es la llave maestra que siempre funciona.
En palabras simples
Una ecuación con un x², ax²+bx+c=0. Tiene como máximo dos soluciones, y sustituir a, b, c en la fórmula general siempre las produce.
La intuición
La gráfica de y=ax²+bx+c es una parábola. Las coordenadas x donde cruza el eje x son exactamente las raíces de la ecuación — cruza dos veces para dos raíces, roza para una, no toca para ninguna raíz real.
Cómo se construye
Si se factoriza, usa 'uno de los dos paréntesis debe ser 0' para resolver rápido. Si no, usa la fórmula general. El b²−4ac bajo la raíz (el discriminante) indica el número de raíces — positivo da dos, cero da una, negativo no da raíces reales.
Ejemplo
x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3 o x=−1, porque para que un producto sea 0, uno de los paréntesis debe ser 0.
Error común
'Si un factor es 0 el producto es 0' solo funciona cuando el otro lado es 0 — no puedes usarlo en (x−1)(x−2)=6 (reordena a 0 primero). Y si el discriminante es negativo no hay solución (real).
Dónde se usa
La altura de un objeto lanzado, el lado de un terreno con área fija, el punto de máxima ganancia — en cuanto aparece un cuadrado, aparece una cuadrática.
De dónde viene
Las raíces de la fórmula se remontan a antiguos problemas babilónicos de áreas; la fórmula algebraica completa se fue puliendo a través de muchas civilizaciones.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuáles son las dos raíces de x² − 5x + 6 = 0?
- 2 y 3✓
- −2 y −3
- 1 y 6
- 2 y −3
Práctica
Halla la raíz positiva de x² − 4 = 0.
Respuesta: 2
- x² = 4
- x = 2 o x = −2
- la raíz positiva es 2
Idea clave: x²=k da ±√k — conserva ambos signos.
Halla la raíz mayor de x² − 7x + 10 = 0.
Respuesta: 5
- Dos números que multiplican a +10 y suman −7: −2 y −5 → (x − 2)(x − 5) = 0
- x = 2 o x = 5
- la raíz mayor es 5
Idea clave: Si se factoriza, resuelves rápido sin la fórmula.
Halla la raíz (una raíz doble) de x² − 6x + 9 = 0.
Respuesta: 3
- (x − 3)² = 0
- x = 3 (las dos raíces coinciden)
Idea clave: Un cuadrado perfecto da una raíz doble (discriminante 0).
Resuelve x² + 2x − 1 = 0 con la fórmula general.
Respuesta: undefined
- a=1, b=2, c=−1 → b²−4ac = 4 + 4 = 8
- x = (−2 ± √8)/2 = (−2 ± 2√2)/2
- x = −1 ± √2
Idea clave: Cuando no se factoriza, la fórmula siempre funciona.