Funciones lineales y sus gráficas
“Una función lineal es una línea recta; la pendiente es 'qué tan inclinada'.”
La fórmula
y = ax + bCómo leerla: una línea recta con pendiente a y ordenada al origen b
- a
- — la pendiente — cuánto sube y cuando x aumenta en 1
- b
- — la ordenada al origen — el valor de y cuando x = 0 (la altura inicial)
- x
- — el valor de entrada
El gancho
y=ax+b es simplemente una línea recta — la pendiente a fija 'qué tan inclinada' está, y b fija 'dónde empieza'.
En palabras simples
Una regla donde metes x y sale y = 'a por x más b'. Grafícala y siempre obtienes una línea recta.
La intuición
a es la inclinación de una escalera — cada vez que x sube 1, y sube a. b es la altura inicial (y cuando x=0). Conoce esos dos valores y la línea queda totalmente fijada.
Cómo se construye
a es la pendiente = (cambio en y)/(cambio en x). b es la ordenada al origen, la altura donde la línea cruza el eje y. Si a es positivo la línea sube hacia la derecha, si es negativo baja.
Ejemplo
y=2x−1. En x=0,1,2, y es −1,1,3. Cada vez que x sube 1, y sube 2 — la pendiente es exactamente 2.
Error común
Es fácil confundir la pendiente a con la ordenada al origen b. En y=3x−2, 3 es la pendiente y −2 es la altura inicial — no 3.
Dónde se usa
Planes de telefonía (tarifa base + uso), distancia a velocidad constante, cambio de temperatura — el modelo básico para cualquier relación que 'cambia a un ritmo constante'.
De dónde viene
El plano cartesiano que conecta ecuaciones con gráficas fue creado por Descartes en el siglo XVII — el momento en que una ecuación finalmente pudo convertirse en una 'imagen'.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la pendiente de la función lineal y = 3x − 2?
- 3✓
- −2
- 2
- −3
Práctica
Para y = 2x + 1, ¿cuánto vale y cuando x = 3?
Respuesta: 7
- y = 2·3 + 1
- = 7
Idea clave: Sustituye x y obtienes un punto y en la línea.
Para y = −2x + 5, ¿cuánto vale y cuando x = 1?
Respuesta: 3
- y = −2·1 + 5
- = 3
Idea clave: Una pendiente negativa significa que y baja cuando x sube.
¿Cuál es la pendiente de la línea que pasa por (1, 2) y (3, 8)?
Respuesta: 3
- pendiente = (cambio en y)/(cambio en x) = (8 − 2)/(3 − 1)
- = 6/2 = 3
Idea clave: La pendiente es el ascenso entre dos puntos dividido entre el avance.