Distancia en el Plano Cartesiano
“La fórmula de la distancia en coordenadas es simplemente el teorema de Pitágoras.”
La fórmula
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)Cómo leerla: la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la diferencia horizontal al cuadrado más la diferencia vertical al cuadrado
- x₂ − x₁
- — la diferencia horizontal (x) entre los dos puntos
- y₂ − y₁
- — la diferencia vertical (y) entre los dos puntos
- d
- — la longitud del segmento que une los dos puntos (la distancia en línea recta)
El gancho
La distancia entre dos puntos en una cuadrícula es en realidad el teorema de Pitágoras, aplicado tal cual.
En palabras simples
Halla la diferencia horizontal y la diferencia vertical entre los dos puntos y forman un triángulo rectángulo; el segmento que une los puntos es su hipotenusa. Así que la distancia es √(horizontal² + vertical²).
La intuición
Dibuja una escalera entre los dos puntos — de lado por (x₂−x₁), hacia arriba por (y₂−y₁). Esos dos catetos se encuentran en ángulo recto, y la distancia «recta» que buscamos es su hipotenusa. La fórmula de la distancia es Pitágoras disfrazado.
Cómo se construye
① Diferencia horizontal x₂−x₁, ② diferencia vertical y₂−y₁. ③ Eleva cada una al cuadrado y súmalas para obtener la hipotenusa al cuadrado, ④ toma la raíz cuadrada para obtener la distancia. Elevar al cuadrado borra el signo, así que no importa qué punto restes primero.
Ejemplo
Distancia entre (0, 0) y (3, 4): diferencia horizontal 3, diferencia vertical 4 → √(3² + 4²) = √25 = 5. Es otra vez el triángulo rectángulo 3-4-5.
Error común
Olvidar restar antes de elevar al cuadrado, o mezclar x con y en vez de x-con-x e y-con-y, lo arruina. Además, como elevar al cuadrado elimina el signo, restar como (x₁−x₂) da el mismo resultado.
Dónde se usa
La distancia en línea recta entre dos lugares en una app de mapas, la separación entre personajes de un videojuego, medir qué tan «cerca» están dos puntos en análisis de datos — en cualquier lugar donde haya coordenadas.
De dónde viene
Cuando Descartes trasladó las figuras a coordenadas (geometría analítica), las distancias que antes se medían con regla y compás pasaron a ser algo que se podía calcular.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la distancia entre los puntos (0, 0) y (6, 8)?
- 10✓
- 14
- 48
- 100
Práctica
¿Cuál es la distancia entre los puntos (1, 1) y (4, 5)?
Respuesta: 5
- diferencia horizontal: 4 − 1 = 3, diferencia vertical: 5 − 1 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
- = 5
Idea clave: Primero obtén las diferencias horizontal y vertical, y luego es solo Pitágoras.
¿Cuál es la distancia entre los puntos (2, 3) y (2, 7)?
Respuesta: 4
- diferencia horizontal: 2 − 2 = 0, diferencia vertical: 7 − 3 = 4
- d = √(0² + 4²) = √16 = 4
Idea clave: Igual x significa que los puntos solo difieren verticalmente — solo la diferencia en y.
Halla la distancia entre (0, 0) y (2, 2) como un valor aproximado.
Respuesta: 2.83
- diferencia horizontal 2, diferencia vertical 2
- d = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
- 2√2 ≈ 2.83
Idea clave: Una distancia que no sale exacta es irracional — responde con una aproximación.