El teorema de Pitágoras
“En un triángulo rectángulo, conocer dos lados fija el tercero.”
La fórmula
a² + b² = c²Cómo leerla: en un triángulo rectángulo, elevar al cuadrado los dos catetos y sumarlos es igual al cuadrado de la hipotenusa
- a, b
- — los dos lados que forman el ángulo recto (los catetos)
- c
- — el lado más largo, opuesto al ángulo recto (la hipotenusa)
- a², b², c²
- — el área de un cuadrado construido sobre cada lado
El gancho
Con solo un ángulo recto, puedes calcular el tercer lado a partir de los otros dos en lugar de medirlo.
En palabras simples
En un triángulo rectángulo, eleva al cuadrado cada uno de los dos lados más cortos y súmalos, y llegas exactamente al cuadrado de la hipotenusa.
La intuición
Dibuja un cuadrado sobre cada uno de los tres lados. Las áreas de los dos cuadrados más pequeños (a², b²) encajan perfectamente para llenar el cuadrado grande (c²). No es una relación de longitudes sino un 'equilibrio de áreas'.
Cómo se construye
La clave es el ángulo recto. Solo cuando el ángulo es de 90° la suma de los dos lados al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa. La hipotenusa c siempre está opuesta al ángulo recto — el lado más largo.
Ejemplo
Si los dos catetos son 3 y 4, entonces 3² + 4² = 9 + 16 = 25. La hipotenusa es √25 = 5. Por eso 3-4-5 es el triángulo rectángulo más famoso.
Error común
No sustituyas cualquier lado como si fuera la hipotenusa. c siempre es 'el lado opuesto al ángulo recto, el más largo'. Y es una relación entre cuadrados, no a + b = c.
Dónde se usa
La distancia entre dos puntos en un mapa, el tamaño diagonal de una pantalla, comprobar que un edificio está vertical, la fórmula de la distancia en el plano cartesiano — casi en cualquier lugar donde se necesite una 'distancia en línea recta'.
De dónde viene
Lleva el nombre de Pitágoras, pero babilonios, egipcios, chinos e indios ya conocían y usaban esta relación miles de años antes.
Requisitos previos
Comprobación rápida
En un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8, ¿cuál es la hipotenusa?
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Práctica
¿Cuál es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 5 y 12?
Respuesta: 13
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- hipotenusa = √169 = 13
Idea clave: 5-12-13 es otro triángulo rectángulo de números enteros que verás con frecuencia.
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 13 y un cateto 5. ¿Cuál es el otro cateto?
Respuesta: 12
- Cuando conoces la hipotenusa, restas: b² = c² − a²
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12
Idea clave: Conociendo la hipotenusa y un cateto, resta — no sumes.
¿Cuál es la diagonal de un cuadrado con lado de longitud 1? (da un valor aproximado)
Respuesta: 1.41
- La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 1 y 1
- 1² + 1² = 2, así que la diagonal = √2
- √2 ≈ 1.414
Idea clave: La diagonal de un cuadrado es √2 veces su lado — un número irracional, no terminante.