El teorema del binomio
“Los coeficientes del teorema del binomio son solo combinaciones — el triángulo de Pascal.”
La fórmula
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏCómo leerla: al expandir (a+b) multiplicado por sí mismo n veces, el coeficiente de cada término es una combinación ₙCₖ
- ₙCₖ
- — el coeficiente binomial: el número delante del término aⁿ⁻ᵏbᵏ
- aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- — un término donde a se usa n−k veces y b se usa k veces
- n
- — cuántas veces se multiplica el paréntesis (la potencia)
El gancho
No tienes que multiplicar (a+b)¹⁰ a mano — una vez que sabes que el coeficiente de cada término es una 'combinación', puedes expandirlo en una sola línea.
En palabras simples
Al expandir (a+b)ⁿ, el coeficiente de cada término es ₙCₖ: el número de formas de elegir b en k de los n paréntesis.
La intuición
(a+b)ⁿ es (a+b) escrito n veces y multiplicado. Expandir significa elegir a o b de cada paréntesis y sumar todos los productos. El número de formas en que b se elige exactamente k veces es ₙCₖ → así que el coeficiente de aⁿ⁻ᵏbᵏ es ₙCₖ. Los coeficientes eran, desde el principio, 'conteos de formas de elegir'.
Cómo se construye
Para una potencia fija n, los términos son aⁿ, aⁿ⁻¹b, …, bⁿ, y los exponentes siempre suman n. Los coeficientes ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙ son exactamente una fila del triángulo de Pascal — aquella donde cada entrada es la suma de las dos de arriba.
Ejemplo
(a+b)² = ₂C₀a² + ₂C₁ab + ₂C₂b² = 1·a² + 2ab + 1·b². Los coeficientes 1, 2, 1 son la tercera fila del triángulo de Pascal.
Error común
(a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ. Los términos cruzados del medio, que llevan coeficientes combinatorios, siempre aparecen. Incluso (a+b)² está mal si omites el 2ab.
Dónde se usa
Calcular la distribución binomial en probabilidad, aproximar (1+x)ⁿ, expandir expresiones algebraicas, identidades combinatorias — un puente entre la probabilidad/estadística y el álgebra.
De dónde viene
Organizar los coeficientes como el 'triángulo de Pascal' ya se conocía antes de Pascal en China (Yang Hui) y Persia — un saber que cruzó civilizaciones.
Requisitos previos
Comprobación rápida
En la expansión de (a+b)³, ¿cuál es el coeficiente de a²b?
- 1
- 2
- 3✓
- 6
Práctica
Encuentra el coeficiente de a²b² en la expansión de (a+b)⁴.
Respuesta: 6
- Formas de elegir b dos veces: ₄C₂
- = (4·3)/(2·1) = 6
Idea clave: El coeficiente es ₙCₖ, donde k es el exponente de b.
Encuentra el coeficiente de x² en la expansión de (1+x)⁵.
Respuesta: 10
- Formas de elegir x dos veces: ₅C₂
- = (5·4)/(2·1) = 10
Idea clave: En (1+x)ⁿ el coeficiente de xᵏ es ₙCₖ.
Encuentra la suma de todos los coeficientes en (a+b)⁴. (Pista: haz a=b=1)
Respuesta: 16
- Sustituye a=b=1: (1+1)⁴
- = 2⁴ = 16
Idea clave: La suma de los coeficientes con a=b=1 es 2ⁿ.
Explica cómo los coeficientes 1, 3, 3, 1 de (a+b)³ se conectan con el triángulo de Pascal.
Respuesta: undefined
- En el triángulo de Pascal, cada entrada es la suma de las dos de arriba
- Sumar los vecinos de 1,2,1 da 1,3,3,1
- Esa fila es exactamente los coeficientes de (a+b)³
Idea clave: Los coeficientes binomiales son una fila del triángulo de Pascal.