Permutaciones y Combinaciones
“El orden importa → permutación; el orden se ignora → combinación (C = P ÷ r!).”
La fórmula
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)Cómo leerla: una permutación cuenta las formas de elegir r elementos en orden; una combinación cuenta las formas de elegir r elementos sin importar el orden
- n
- — el número total de elementos
- r
- — cuántos eliges
- ₙPᵣ
- — permutaciones — cuenta donde el orden importa
- ₙCᵣ
- — combinaciones — cuenta donde el orden no importa
El gancho
'Quién gana oro, plata, bronce' y 'cuáles 3 llegan a la final' se cuentan de forma distinta — si el orden importa es justo lo que separa a las permutaciones de las combinaciones.
En palabras simples
Elegir r de entre n elementos: si el orden en que los elegiste importa, es una permutación (P); si solo importa 'quién quedó elegido', es una combinación (C).
La intuición
Elígelos en una fila ordenada y tienes permutaciones. Pero las combinaciones no distinguen el orden, así que debes cancelar los duplicados que son el mismo grupo en distinto orden (r! de ellos) — por eso una combinación es una permutación dividida entre r!. C = P ÷ r!.
Cómo se construye
P es 'n por (n−1) por … , r factores contando hacia abajo'. C divide esa P entre r! para borrar los duplicados de orden. El factorial n! multiplica de 1 a n — el número de formas de alinear las cosas.
Ejemplo
De 5 personas elige 2: permutaciones ₅P₂ = 5·4 = 20 (se distingue 1º de 2º). Combinaciones ₅C₂ = 20 ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10 (solo elegir 2).
Error común
No recurras a combinaciones solo porque veas la palabra 'elegir'. Si los roles son distintos (presidente vs. vicepresidente), es una permutación; si no hay distinción de roles (solo 2 representantes), es una combinación.
Dónde se usa
Probabilidades de lotería, el número de contraseñas posibles, formación de equipos, manos de cartas — el punto de partida de la probabilidad y la estadística: '¿de cuántas formas es posible?'
De dónde viene
El conteo sistemático creció con fuerza a partir de las cartas entre Pascal y Fermat mientras razonaban sobre las probabilidades en juegos de azar.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es ₅C₂? (elegir 2 de 5)
- 10✓
- 20
- 25
- 60
Práctica
Halla ₄P₂ (ordenar 2 de 4 en orden).
Respuesta: 12
- Multiplica 2 factores contando hacia abajo desde 4: 4·3
- = 12
Idea clave: Una permutación multiplica r factores contando hacia abajo desde n.
Halla ₆C₂.
Respuesta: 15
- ₆C₂ = (6·5)/(2·1)
- = 30/2 = 15
Idea clave: Una combinación divide la permutación entre r!.
Halla 3!.
Respuesta: 6
- 3! = 3·2·1
- = 6
Idea clave: Un factorial multiplica de 1 hasta el número.
Explica por qué ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! usando 'elegir 2 de 5'.
Respuesta: undefined
- La permutación ₅P₂=20 cuenta (A,B) y (B,A) por separado
- Pero para elegir 2, esos son el mismo grupo
- Se dividen los 2!=2 órdenes: 20÷2=10
Idea clave: Una combinación es una permutación con los duplicados de orden eliminados.