Conteo de Casos
“Ocurrir en secuencia: multiplica. Uno de dos: suma.”
La fórmula
N = m × nCómo leerla: si un evento puede ocurrir de m maneras y luego otro de n maneras, los dos ocurriendo en secuencia pueden darse de m×n maneras
- m
- — el número de maneras en que puede ocurrir el primer evento
- n
- — el número de maneras en que puede ocurrir el siguiente evento
- m × n
- — el número total de maneras en que ambos ocurren en secuencia
El gancho
«Contar casos» es en realidad la habilidad de contar cada posibilidad una sola vez — nada se pasa por alto, nada se cuenta dos veces.
En palabras simples
Las cosas que no pueden ocurrir juntas se SUMAN (la regla de la suma); las cosas que ocurren una tras otra se MULTIPLICAN (la regla del producto).
La intuición
Elegir un atuendo: escoge 1 de 3 camisas, luego 1 de 2 pantalones. Cada camisa se ramifica en 2 opciones de pantalón, así que 3×2 = 6 ramas. Se divide como un árbol, por eso multiplicas.
Cómo se construye
La clave está en distinguir «y» de «o». Uno y luego otro en secuencia → multiplicas («y»). Esto o aquello, solo uno → sumas («o»).
Ejemplo
Maneras de combinar una de 3 camisetas con uno de 2 pantalones: 2 pantalones por cada camiseta → 3×2 = 6 atuendos.
Error común
Sumar cuando en realidad es «y», o multiplicar cuando en realidad es «o», sale mal. Ocurrir en secuencia → multiplica; solo uno de los dos → suma.
Dónde se usa
El número de contraseñas posibles, la distribución de asientos, los cuadros de torneos, el denominador de una probabilidad de lotería — para hallar una probabilidad, primero hay que contar los casos.
De dónde viene
El conteo sistemático de posibilidades despegó en el siglo XVII, cuando Pascal y Fermat resolvieron problemas de juegos de azar y abrieron la puerta a la teoría de la probabilidad.
Comprobación rápida
Al lanzar una moneda y un dado al mismo tiempo, ¿cuántos resultados son posibles?
- 8
- 12✓
- 36
- 2
Práctica
¿De cuántas maneras se puede elegir un conjunto entre 4 tipos de camiseta y 3 tipos de gorra?
Respuesta: 12
- Cada camiseta se ramifica en 3 opciones de gorra
- 4 × 3 = 12
Idea clave: Las elecciones hechas una tras otra se multiplican.
Usando los dígitos 1, 2, 3, ¿cuántos números de dos cifras (como 12 o 33) puedes formar? (se permiten repeticiones)
Respuesta: 9
- Cifra de las decenas: 3 opciones
- Cifra de las unidades: 3 opciones (se permiten repeticiones)
- 3 × 3 = 9
Idea clave: Multiplica el número de opciones en cada posición.
Al lanzar dos dados, ¿cuántos pares ordenados de caras son posibles? En tu cuaderno, escribe por qué es una multiplicación.
Respuesta: undefined
- Primer dado: 6 maneras
- Segundo dado: 6 maneras
- Cada cara se ramifica en 6, así que 6 × 6 = 36
Idea clave: Los eventos unidos por «y» tienen sus conteos multiplicados.