Sucesiones aritméticas y geométricas
“Sumar es aritmética (una línea); multiplicar es geométrica (una curva).”
La fórmula
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹Cómo leerla: un término aritmético suma la diferencia común d al primer término (n−1) veces; un término geométrico multiplica el primer término por la razón común r (n−1) veces
- a₁
- — el primer término: donde comienza la sucesión
- d
- — la diferencia común: la brecha constante entre términos vecinos (aritmética)
- r
- — la razón común: el factor constante entre términos vecinos (geométrica)
- n
- — el número de término (qué posición ocupa)
El gancho
Sumar la misma cantidad en cada paso, como subir escaleras → aritmética. Multiplicar por el mismo factor, como el interés compuesto → geométrica. Una sola regla define toda la sucesión.
En palabras simples
Una sucesión aritmética suma un número fijo d al término anterior cada vez; una sucesión geométrica multiplica el término anterior por un número fijo r cada vez.
La intuición
La aritmética avanza con un paso constante — graficada, es una línea recta. La geométrica salta por el mismo factor cada vez — graficada, es una curva exponencial. Si la regla es 'sumar' o 'multiplicar' es lo que las distingue.
Cómo se construye
Para llegar al término n-ésimo das exactamente (n−1) pasos desde el primer término. La aritmética suma d por paso → a₁+(n−1)d; la geométrica multiplica por r por paso → a₁·rⁿ⁻¹. La clave es (n−1), no n — el primer término son cero pasos.
Ejemplo
2, 5, 8, 11, … es aritmética con d=3. El 4.º término = 2 + (4−1)·3 = 2 + 9 = 11. Y 3, 6, 12, 24, … es geométrica con r=2. El 4.º término = 3·2³ = 24.
Error común
Un error común es poner n directamente en el exponente. El factor de razón para el 4.º término es r³, no r⁴ — solo multiplicas tres veces desde el primer término. Siempre revisa el (n−1).
Dónde se usa
El interés de los ahorros, el crecimiento poblacional, la depreciación (geométrica); los depósitos fijos, la distribución de asientos (aritmética) — en cualquier lugar donde una cantidad cambie con una regla regular y quieras predecir hacia adelante.
De dónde viene
La historia del joven Gauss sumando del 1 al 100 en un instante es exactamente la suma de una sucesión aritmética — emparejando los extremos y sumando.
Requisitos previos
Comprobación rápida
En la sucesión aritmética 3, 7, 11, …, ¿cuál es el 5.º término?
- 15
- 17
- 19✓
- 23
Práctica
Encuentra el 10.º término de la sucesión aritmética 2, 5, 8, ….
Respuesta: 29
- a₁=2, d=3
- a₁₀ = 2 + (10−1)·3 = 2 + 27 = 29
Idea clave: El término n-ésimo suma d al primer término (n−1) veces.
Encuentra el 7.º término de la sucesión geométrica 1, 2, 4, 8, ….
Respuesta: 64
- a₁=1, r=2
- a₇ = 1·2⁷⁻¹ = 2⁶ = 64
Idea clave: El factor de razón n-ésimo es rⁿ⁻¹ (no r⁷).
Una sucesión aritmética tiene primer término 5 y diferencia común −2. Encuentra el 6.º término.
Respuesta: -5
- a₆ = 5 + (6−1)·(−2) = 5 − 10
- = −5
Idea clave: Una diferencia común negativa hace que la sucesión disminuya.
Encuentra el 4.º término de una sucesión geométrica con primer término 2 y razón común 3.
Respuesta: undefined
- a₄ = 2·3⁴⁻¹ = 2·3³
- = 2·27 = 54
Idea clave: Multiplica solo tres veces desde el primer término.