Leyes de los exponentes
“Multiplica y suma exponentes; divide y réstalos.”
La fórmula
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿCómo leerla: multiplicar potencias de la misma base suma los exponentes
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- — multiplicar mismas bases → sumar los exponentes
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- — una potencia de una potencia → multiplicar los exponentes
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- — dividir mismas bases → restar los exponentes
El gancho
Las leyes de los exponentes parecen mucho para memorizar, pero en realidad son una sola idea — contar multiplicaciones repetidas.
En palabras simples
Una potencia es el mismo número multiplicado varias veces. Multiplícalas o divídelas, y solo tienes que sumar o restar los exponentes.
La intuición
aᵐ es a multiplicado m veces, aⁿ es a multiplicado n veces. Multiplícalos y a queda multiplicado un total de m+n veces, así que el exponente es m+n. Solo estás contando 'cuántas veces', por eso los exponentes se suman.
Cómo se construye
Tres reglas lo cubren todo — multiplicar y sumar exponentes (aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ), potencia de una potencia y multiplicar exponentes ((aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ), dividir y restar exponentes (aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ).
Ejemplo
Escribe 2³ × 2² completo: (2×2×2) × (2×2) es 2 cinco veces. Así que 2⁵ = 32, coincidiendo exactamente con el exponente 3+2=5.
Error común
Es fácil confundir aᵐ · aⁿ con aᵐˣⁿ. La multiplicación SUMA los exponentes; solo MULTIPLICAS exponentes al elevar una potencia a otra potencia, como en (aᵐ)ⁿ.
Dónde se usa
Notación científica para números enormes y diminutos (potencias de 10), área y volumen, y tamaños de memoria en binario (2¹⁰=1024) — se usa todos los días.
De dónde viene
La notación de potencias aⁿ fue popularizada por Descartes, y las leyes de los exponentes se extendieron después de forma natural a exponentes racionales, negativos y reales.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Escribe 2³ × 2⁴ como una sola potencia.
- 2⁷✓
- 2¹²
- 2¹
- 4⁷
Práctica
Calcula 3² × 3³.
Respuesta: 243
- Suma exponentes: 3² × 3³ = 3⁵
- 3⁵ = 243
Idea clave: Un producto de la misma base suma los exponentes.
Calcula (2³)².
Respuesta: 64
- Multiplica exponentes: (2³)² = 2⁶
- 2⁶ = 64
Idea clave: Una potencia de una potencia multiplica los exponentes.
Calcula 5⁴ ÷ 5².
Respuesta: 25
- Resta exponentes: 5⁴ ÷ 5² = 5²
- 5² = 25
Idea clave: Un cociente de la misma base resta los exponentes.
Escribe a⁵ · a³ como una sola potencia.
Respuesta: undefined
- Misma base, así que suma los exponentes
- 5 + 3 = 8
- a⁵ · a³ = a⁸
Idea clave: Las leyes de los exponentes solo aplican cuando las bases coinciden.