Notación sigma y series
“Sigma es una orden de una sola letra: 'súmalos todos en orden'.”
La fórmula
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2Cómo leerla: sumar todo número entero del 1 hasta n da n(n+1)/2
- Σ
- — sigma — el símbolo que significa 'súmalos todos'
- k
- — la variable de recorrido (avanza por 1, 2, 3, …)
- n
- — el límite superior — hasta dónde llega la suma
El gancho
No tienes que sumar 1+2+3+…+100 uno por uno — la notación sigma y una sola fórmula lo terminan en una línea.
En palabras simples
Σ es una orden: 'sustituye desde el valor inferior hasta el valor superior y súmalos todos'. Σₖ₌₁ⁿ k es la suma de 1 a n.
La intuición
Coloca 1 hasta n hacia adelante y hacia atrás en dos filas; cada suma emparejada es (n+1). Hay n de esos pares, así que el doble del total es n(n+1), dando una suma de n(n+1)/2. Esa imagen de superposición y emparejamiento ES la fórmula.
Cómo se construye
Debajo de la Σ, k=1 es el inicio; arriba, n es el final; la expresión después es 'qué sumar'. Tres sumas son básicas — Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6, Σc=cn (una constante sumada n veces).
Ejemplo
De 1 a 10: Σₖ₌₁¹⁰ k = 10·11/2 = 55. En efecto (1+10)+(2+9)+… = 11, cinco pares = 55. Cuadra.
Error común
Σ(k+1) NO es Σk + 1. La constante 1 también se suma n veces, así que es Σk + n. Es fácil olvidar que cada término dentro de la sigma se repite n veces.
Dónde se usa
Medias y varianzas, sumas de series aritméticas y geométricas, la suma repetida en computación, y la semilla de la integración (dividir el área en franjas y sumar) — en cualquier lugar donde 'sumes muchas cosas'.
De dónde viene
El símbolo de suma Σ es la letra griega sigma (la S de 'suma'); el uso extendido de Euler lo convirtió en el estándar.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es Σₖ₌₁⁵ k?
- 10
- 15✓
- 25
- 30
Práctica
Halla Σₖ₌₁¹⁰⁰ k, la suma de 1 a 100.
Respuesta: 5050
- Fórmula n(n+1)/2 con n=100
- 100·101/2 = 10100/2 = 5050
Idea clave: El truco de Gauss de emparejar los extremos.
Halla Σₖ₌₁⁴ 3 (la constante 3 sumada cuatro veces).
Respuesta: 12
- Suma de una constante: Σc = cn
- 3·4 = 12
Idea clave: Una constante se suma una vez por término.
Halla Σₖ₌₁⁵ k², es decir 1²+2²+3²+4²+5².
Respuesta: 55
- Fórmula n(n+1)(2n+1)/6 con n=5
- 5·6·11/6 = 330/6 = 55
Idea clave: Las sumas de cuadrados usan su propia fórmula.
Halla la suma de 1 a 20, Σₖ₌₁²⁰ k.
Respuesta: undefined
- Sustituye n=20
- 20·21/2 = 420/2 = 210
Idea clave: Una fórmula, sin importar cuántos términos, en un solo paso.