Sistemas de ecuaciones lineales
“La solución es el único punto donde se cruzan dos rectas.”
La fórmula
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂Cómo leerla: encontrar el único par (x, y) que satisface ambas ecuaciones lineales a la vez
- x, y
- — las dos incógnitas que se buscan juntas
- a₁, b₁, a₂, b₂
- — los coeficientes de cada ecuación
- (x, y)
- — el punto de cruce de las dos rectas = la solución
El gancho
Con dos incógnitas, una sola ecuación no basta: es un juego de encontrar el único punto donde se cumplen dos condiciones a la vez.
En palabras simples
Encontrar el único par (x, y) que satisface ambas incógnitas a la vez. Se necesitan dos ecuaciones para fijar la respuesta en un solo punto.
La intuición
Cada ecuación lineal es una recta en el plano. Las coordenadas donde las dos rectas se cruzan son exactamente la solución: el único lugar que cumple ambas condiciones a la vez.
Cómo se construye
Dos caminos. Eliminación: sumar o restar las ecuaciones para anular una incógnita. Sustitución: despejar una ecuación como y=… e introducirla completa en la otra. En ambos casos, la clave es reducir todo a una sola incógnita.
Ejemplo
x+y=5, x−y=1. Súmalas: 2x=6 → x=3. Sustituye hacia atrás: y=2. El par (3,2) hace verdaderas ambas ecuaciones.
Error común
No siempre hay exactamente una solución: si las dos rectas son paralelas nunca se cruzan (sin solución), y si coinciden por completo hay infinitas soluciones.
Dónde se usa
Cualquier problema donde dos cosas están entrelazadas —entradas de adulto y de niño, precios de dos artículos, velocidad y tiempo— te permite despejar cada una.
De dónde viene
La idea de eliminar incógnitas para resolver aparece hace 2000 años en los 'Nueve capítulos' de China, ya planteada en una tabla similar a una matriz.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Si x + y = 10 y x − y = 2, ¿cuánto vale x?
- 4
- 6✓
- 8
- 10
Práctica
Si x + y = 7 y x − y = 3, encuentra x.
Respuesta: 5
- Suma las dos ecuaciones para cancelar y: 2x = 10
- x = 5
Idea clave: Eliminación: suma o resta para anular una incógnita.
Si y = 2x y x + y = 9, encuentra y.
Respuesta: 6
- Sustituye: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3
- y = 2·3 = 6
Idea clave: Sustitución: introduce una incógnita completa en la otra ecuación.
Resuelve 2x + y = 7 y x + y = 4, y luego comprueba tu respuesta en ambas ecuaciones.
Respuesta: undefined
- Resta la segunda de la primera: (2x+y) − (x+y) = 7 − 4 → x = 3
- Sustituye en x + y = 4: y = 1
- Comprueba: 2·3+1 = 7 ✓, 3+1 = 4 ✓
Idea clave: El par (x, y) que encuentres debe satisfacer 'ambas' ecuaciones.