La definición ε–δ de límite
“Un límite es la promesa: 'nombra el error que quieras, y puedo cumplirlo'.”
La fórmula
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εCómo leerla: por más pequeño que sea el error objetivo ε que exijas, existe una ventana de entrada δ que mantiene f(x) a menos de ε de L
- ε
- — el error objetivo permitido en la salida — el desafío 'acércate esto'
- δ
- — la ventana de entrada en x que cumple la exigencia
- |x−a|
- — la distancia de la entrada x hasta a
- |f(x)−L|
- — el error entre la salida f(x) y el objetivo L
El gancho
Las matemáticas fijaron la vaga frase 'se acerca arbitrariamente' como un juego de desafío y respuesta.
En palabras simples
Si, por pequeño que sea el error ε que tu oponente elija, puedes reducir la ventana de entrada δ de modo que f(x) se mantenga a menos de ε de L, entonces el límite es L.
La intuición
Míralo como un juego. El oponente dice: 'Consigue que la salida quede a menos de 0.01 de L (eso es ε).' Tú respondes: 'Claro, basta con mantener la entrada a menos de δ de a.' Si siempre puedes responder a cualquier ε más pequeño con algún δ, ganas, y eso es 'el límite es L'. La cercanía se convierte en una regla, no en una sensación.
Cómo se construye
Dos piezas. ε es la exigencia sobre la salida (qué tan cerca), δ es la respuesta sobre la entrada (qué tan estrecha). El orden importa: ε se da primero, luego se elige δ para responder. Normalmente δ depende de ε.
Ejemplo
Muestra que lim(x→1)(2x+1)=3. Dado ε=0.1, necesitamos |2x+1−3|=2|x−1|<0.1, es decir |x−1|<0.05, así que δ=0.05 funciona. En general δ=ε/2 responde a cualquier ε, así que el límite es 3.
Error común
No eliges δ primero y luego buscas ε. ε siempre llega primero como el desafío; δ viene después como la respuesta. Invierte el orden y la definición se derrumba.
Dónde se usa
Esta definición es la base de todo el cálculo — continuidad, derivadas, integrales y convergencia se vuelven rigurosas en este lenguaje. Eliminar la vaguedad permitió a las matemáticas manejar el infinito con seguridad.
De dónde viene
Cauchy sembró la idea en el siglo XIX y Weierstrass la terminó con los símbolos ε y δ. Convirtió los límites, antes remendados con 'infinitesimales', en un juego finito de desigualdades.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Para lim(x→1)(2x+1)=3, te dan ε=0.2. ¿Qué δ garantiza |f(x)−3|<0.2?
- δ=0.1✓
- δ=0.2
- δ=0.4
- δ=2
Práctica
Para f(x)=3x, lim(x→2)=6. Encuentra el δ más grande que garantice un error menor a ε=0.3.
Respuesta: 0.1
- se necesita |3x−6|=3|x−2|<0.3
- → |x−2|<0.1, así que δ=0.1
Idea clave: δ suele escalar con ε — aquí δ=ε/3.
Para f(x)=4x, lim(x→0)=0. ¿Cuál es el δ más grande que garantiza un error menor a ε=0.8?
Respuesta: 0.2
- se necesita 4|x|<0.8
- → |x|<0.2, así que δ=0.2
Idea clave: Una pendiente más pronunciada necesita un δ más estrecho para el mismo ε.
Para f(x)=5x, lim(x→3)=15. Usando la regla δ=ε/5, ¿qué δ cumple ε=1?
Respuesta: 0.2
- δ=ε/5 = 1/5
- = 0.2
Idea clave: Para una recta siempre puedes responder con δ=ε/(pendiente).
Explica en tu cuaderno por qué 'para todo ε existe un δ' captura exactamente 'se acerca arbitrariamente'.
Respuesta: undefined
- 'arbitrariamente cerca' significa 'alcanzar cualquier error objetivo, por pequeño que sea'
- tener un δ para cada ε significa que toda exigencia puede responderse
- así que ningún error queda fuera de alcance = realmente se aproxima
Idea clave: 'todo ε' captura 'arbitrariamente', 'existe un δ' captura 'alcanzable'.