Análisis y cálculo
21 conceptos
lim(n→∞) aₙ = LEl límite de una sucesión
Conforme llevas el número de término n al infinito, si los términos se acercan cada vez más a un único número L, entonces L es el límite de la sucesión.
lim(x→a) f(x) = LLímites
Acerca x cada vez más a un valor a, y observa a qué número se aproxima la función.
lim(x→a) f(x) = f(a)Continuidad
Si el valor que esperabas al acercarte (el límite) coincide exactamente con el valor que realmente está marcado en ese punto, la curva pasa por ahí sin interrupción.
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / hLa Derivada — Pendiente en un Instante
Toma la pendiente entre dos puntos (subida ÷ avance), y luego deslízalos infinitamente cerca para obtener «la pendiente en un solo punto».
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹La Regla de la Potencia
La función pendiente de xⁿ es: multiplica al frente por el exponente n, y reduce el exponente a n−1.
(f·g)' = f'·g + f·g'La regla del producto
Para derivar un producto de dos funciones, deriva una a la vez y suma los dos resultados.
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)La regla de la cadena
Para derivar una composición (una función dentro de otra), multiplica la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
f'(x) = 0Puntos Críticos — Donde la Pendiente Es Cero
Iguala la derivada a 0 y resuelve; los valores de x que obtienes son donde la tangente se vuelve plana — candidatos a máximo o mínimo.
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩Concavidad y la segunda derivada
La segunda derivada f'' es la tasa de cambio de la pendiente. Su signo te dice si la curva se dobla como una copa (∪) o como un gorro (∩).
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·ΔxLa integral — acumulando área
El área bajo una curva, rellenada con muchos rectángulos muy angostos cuyas áreas sumas. Lleva su ancho a 0 y obtienes el área exacta.
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)La Integral Definida
El área sobre [a,b], calculada no mediante una suma de Riemann sino hallando una antiderivada F y tomando F(b)−F(a).
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)El teorema fundamental del cálculo
Deriva la función que ha ido acumulando área desde a hasta x, y la función original f(x) reaparece de inmediato. Derivación e integración son inversas.
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828El Número e
Toma un interés del 100%, divídelo en pasos de capitalización cada vez más finos, y a medida que el número de pasos tiende a infinito, el resultado se acerca a e ≈ 2.718.
ln x = y ⇔ eʸ = xEl Logaritmo Natural
ln x responde 'a qué potencia hay que elevar e para obtener x'. En otras palabras, es la inversa de la exponencial eˣ.
d/dx eˣ = eˣDerivando la exponencial — eˣ es su propia pendiente
La función pendiente de eˣ es eˣ otra vez. En cualquier punto, la altura ahí es exactamente la pendiente ahí.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²Aproximación de Taylor: curvas como polinomios
Una función complicada aproximada, cerca de un punto, por un polinomio simple ajustado para compartir allí el mismo valor, la misma pendiente y la misma curvatura.
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εLa definición ε–δ de límite
Si, por pequeño que sea el error ε que tu oponente elija, puedes reducir la ventana de entrada δ de modo que f(x) se mantenga a menos de ε de L, entonces el límite es L.
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1Convergencia de series
La 'suma' de una serie infinita no se suma literalmente hasta el final. Formas la suma parcial de los primeros N términos; si ese valor se aproxima a algún número S conforme N crece, la serie 'converge a S'.
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂yDerivadas Parciales
Para una función de dos o más variables, congelas todas las variables excepto la que te interesa, y luego tomas una derivada ordinaria.
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dyIntegrales Múltiples
Divides la región base R en pequeños rectángulos, multiplicas el área de cada trozo por la altura de la función encima para formar una columnita, y sumas todas las columnas.
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)Series de Fourier
Una función periódica puede escribirse exactamente como una suma de senos y cosenos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de una base. Solo necesitas decidir cuánto de cada tono puro entra (los coeficientes aₙ, bₙ).
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