Continuidad
“La continuidad es simplemente «valor del límite = valor real».”
La fórmula
lim(x→a) f(x) = f(a)Cómo leerla: el límite en x=a es igual al valor de la función ahí — entonces f es continua en a
- f(a)
- — el valor real de la función en ese punto
- lim(x→a) f(x)
- — el límite al acercarte a ese punto
- =
- — cuando ambos coinciden, f es continua en a
El gancho
La continuidad reduce «¿puedes dibujarlo sin levantar el lápiz?» a una sola ecuación.
En palabras simples
Si el valor que esperabas al acercarte (el límite) coincide exactamente con el valor que realmente está marcado en ese punto, la curva pasa por ahí sin interrupción.
La intuición
Sin huecos (puntos faltantes), sin saltos (escalones), sin explosiones (picos verticales). Si puedes trazar la gráfica con el dedo sin levantarlo nunca, es continua.
Cómo se construye
Tres cosas deben cumplirse a la vez — ① f(a) está definida, ② el límite existe, y ③ son iguales. Rompe cualquiera de ellas y la curva se desgarra en ese punto.
Ejemplo
Toma f(x)=x²+1 en x=1: el límite lim(x→1)=2 y el valor f(1)=2. Coinciden, así que f es continua en x=1.
Error común
Continua no significa derivable. |x| no se rompe en x=0 (es continua) pero tiene un pico afilado, así que no tiene una pendiente bien definida ahí.
Dónde se usa
Garantías poderosas como el Teorema del Valor Intermedio y el Teorema del Valor Extremo — «algo debe existir en algún lugar» — solo funcionan con funciones continuas.
De dónde viene
«Sin rupturas» solía dejarse a la intuición; en el siglo XIX Cauchy lo definió mediante límites, así que la continuidad pasó a manejarse con desigualdades, no con dibujos.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Qué se requiere para que f sea continua en x=a?
- el límite es igual al valor de la función✓
- el valor debe ser 0
- la pendiente debe ser 0
- f debe ser derivable en a
Práctica
¿Es f(x)=2x+1 continua en x=3? Halla el límite y f(3) por separado, y luego compara.
Respuesta: undefined
- Límite: lim(x→3)(2x+1) = 7
- Valor: f(3) = 2·3+1 = 7
- Coinciden, así que f es continua en x=3
Idea clave: Los polinomios son continuos en todas partes — el límite es simplemente el valor sustituido.
f(x)=x²−x es continua, así que lim(x→2) f(x) = f(2). ¿Cuánto vale?
Respuesta: 2
- Es continua, así que basta con sustituir
- f(2) = 4 − 2 = 2
Idea clave: Para una función continua, el límite es una simple sustitución.
¿Cuál de estas NO es continua?
Respuesta: 0
- 1/x no está definida en x=0 y diverge hacia ±∞
- Las demás pasan por sus puntos sin interrupción
Idea clave: No definida, con salto o divergente → discontinua ahí.