Límites
“Un límite mide el acercamiento, no la llegada.”
La fórmula
lim(x→a) f(x) = LCómo leerla: el valor L al que se dirige f(x) cuando x se acerca todo lo posible a a
- x→a
- — x se acerca a a (acercándose todo lo que quieras, nunca igual)
- f(x)
- — el valor de la función ahí
- L
- — el valor al que se acerca f(x) (el límite)
El gancho
Un límite no pregunta 'cuál es el valor ahí' — pregunta 'hacia dónde se dirige en el camino hacia ahí'.
En palabras simples
Acerca x cada vez más a un valor a, y observa a qué número se aproxima la función.
La intuición
Puedes nombrar el destino solo observando el acercamiento, aunque nunca llegues realmente. Caminando entre la niebla, si cada señal apunta hacia un mismo lugar, ese lugar es el límite.
Cómo se construye
Lo que importa es el comportamiento cerca de x=a, no el valor en x=a. Aunque ese punto sea un hueco, si ambos lados se acercan al mismo número, el límite existe.
Ejemplo
(x²−1)/(x−1) es 0/0 en x=1, así que no está definida ahí. Pero se simplifica a x+1, y al acercar x a 1 el valor se dirige a 2 → el límite es 2.
Error común
El límite y el valor real pueden diferir. En x=1 la función ni siquiera está definida, y sin embargo el límite es un claro 2.
Dónde se usa
Derivadas, integrales, continuidad, series infinitas — todo el cálculo se apoya en esta única idea del límite.
De dónde viene
En el siglo XVII se hablaba vagamente de 'cantidades infinitamente pequeñas'. En el siglo XIX, Cauchy y Weierstrass fijaron el límite con rigor, dando al cálculo sus cimientos.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es lim(x→3) (x²−9)/(x−3)?
- 0
- 3
- 6✓
- 9
Práctica
Halla lim(x→2) (x²−4)/(x−2).
Respuesta: 4
- Factoriza el numerador: x²−4 = (x−2)(x+2)
- Cancela → x+2 (para x≠2)
- Sustituye x=2 → 4
Idea clave: Cuando te topas con 0/0, cancela para tapar el hueco, luego sustituye.
Halla lim(x→0) (3x+1).
Respuesta: 1
- Esta función es continua en todas partes
- Solo sustituye x=0 → 1
Idea clave: Sin hueco, el límite es simplemente el valor sustituido.
¿Existe lim(x→0) 1/x? En tu cuaderno, escribe qué pasa desde la izquierda y desde la derecha.
Respuesta: undefined
- Desde la derecha (x→0⁺): 1/x → +∞
- Desde la izquierda (x→0⁻): 1/x → −∞
- Los dos lados no coinciden, así que el límite no existe
Idea clave: Si los dos lados se dirigen a valores distintos, no hay límite.