El límite de una sucesión
“Un límite no es 'llegar' sino el valor al que te acercas sin fin.”
La fórmula
lim(n→∞) aₙ = LCómo leerla: conforme n crece sin límite, si el valor de la sucesión aₙ se acerca todo lo que quieras a un único valor L, entonces L es el límite de la sucesión
- aₙ
- — el n-ésimo valor de la sucesión
- n → ∞
- — el número de término n creciendo sin límite
- L
- — el límite al que se acerca la sucesión
El gancho
1, 1/2, 1/3, 1/4, … nunca se vuelve 0, pero se acerca 'sin fin' a 0 — ese destino es el límite.
En palabras simples
Conforme llevas el número de término n al infinito, si los términos se acercan cada vez más a un único número L, entonces L es el límite de la sucesión.
La intuición
Imagina pasos que se acercan para siempre a un destino pero nunca lo pisan. Lo que importa no es 'si llegas' sino 'si puedes acercarte tanto como quieras'. Si sin importar cuán pequeño sea el error que exijas, ir lo suficientemente lejos te acerca dentro de ese margen, entonces ese valor al que te acercas es el límite.
Cómo se construye
lim(n→∞) significa 'conforme n crece sin límite', aₙ es la sucesión, L es el valor al que se acerca. Si el límite se asienta en un único valor finito, 'converge'; si crece sin límite o nunca se asienta, 'diverge'.
Ejemplo
aₙ = 1/n va 1, 1/2, 1/3, … , haciéndose cada vez más pequeño. Conforme n crece se acerca sin fin a 0, así que lim(n→∞) 1/n = 0.
Error común
Un límite NO significa que 'realmente llegues' a ese valor. 1/n nunca es 0 para ningún n — solo se acerca a 0 tanto como quieras. 'Acercarse' e 'igualar' son cosas diferentes.
Dónde se usa
Aproximar el área de un círculo con polígonos, sumar series infinitas, la base de las derivadas y las integrales — el punto de partida de todo el cálculo, 'rebanar infinitamente fino y acercarse'.
De dónde viene
Fijar el 'acercamiento sin fin' con el lenguaje riguroso de ε-N fue obra de Cauchy y Weierstrass en el siglo XIX, lo que puso al cálculo sobre bases lógicas sólidas.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es lim(n→∞) 1/n?
- 0✓
- 1
- ∞
- 1/2
Práctica
Halla lim(n→∞) 1/n².
Respuesta: 0
- Conforme n crece, n² crece incluso más rápido
- 1/n² se acerca sin fin a 0 → 0
Idea clave: Cuando el denominador se dispara, la fracción tiende a 0.
Halla lim(n→∞) (2n+1)/n.
Respuesta: 2
- (2n+1)/n = 2 + 1/n
- Conforme n→∞, 1/n → 0, así que el límite es 2
Idea clave: Separar la expresión revela el término que se desvanece.
Para la sucesión constante aₙ=3, halla lim(n→∞) 3.
Respuesta: 3
- Cada término es siempre 3
- El valor nunca cambia, así que el límite es 3
Idea clave: El límite de una sucesión constante es esa misma constante.
Explica qué significa que 1/n se acerca a 0 pero nunca se vuelve 0.
Respuesta: undefined
- Para cualquier n, 1/n > 0
- Pero al aumentar n te acercas a 0 tanto como quieras
- El límite 0 no es un 'punto alcanzado' sino el 'valor al que te acercas'
Idea clave: Un límite es acercamiento infinito, no llegada.