Puntos Críticos — Donde la Pendiente Es Cero
“En los picos y valles, la pendiente es cero.”
La fórmula
f'(x) = 0Cómo leerla: el x donde la derivada (pendiente) es 0 — un candidato a máximo o mínimo local
- f'(x)
- — la derivada = la pendiente en ese punto
- = 0
- — la pendiente es 0, la tangente es horizontal
- x
- — un punto candidato a máximo o mínimo
El gancho
Encontrar los picos y valles de una función es sorprendentemente simple — «busca dónde la pendiente es 0».
En palabras simples
Iguala la derivada a 0 y resuelve; los valores de x que obtienes son donde la tangente se vuelve plana — candidatos a máximo o mínimo.
La intuición
Sube una colina y en la cima estás momentáneamente a nivel. Lo mismo en el fondo de un valle. En el punto de giro entre subir (pendiente +) y bajar (pendiente −), la pendiente pasa exactamente por 0.
Cómo se construye
Resuelve f'(x)=0 para reunir los x candidatos. Luego decide si cada uno es un pico o un valle usando el signo de la pendiente a ambos lados, o la segunda derivada.
Ejemplo
Para f(x)=x²−4x+3, f'(x)=2x−4. Iguálala a 0 → x=2. Ahí f(2)=4−8+3=−1 — el punto más bajo de esta parábola.
Error común
Pendiente 0 no siempre significa un extremo. f(x)=x³ tiene f'=0 en x=0, pero no es ni pico ni valle — simplemente pasa de largo (una inflexión).
Dónde se usa
Ganancia máxima, costo mínimo, camino más corto — todo problema de optimización que busca el «mejor valor» empieza resolviendo pendiente = 0.
De dónde viene
Antes de que la derivación siquiera se formalizara, Fermat sembró la semilla con la idea de que «el cambio se detiene cerca de un máximo».
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿En qué x tiene f(x)=x²−6x su extremo?
- 0
- 2
- 3✓
- 6
Práctica
¿En qué x tiene f(x)=x²−2x su extremo?
Respuesta: 1
- f'(x)=2x−2
- Iguala a 0: 2x−2=0 → x=1
Idea clave: Deriva, iguala a 0, resuelve para x.
¿En qué x es f(x)=x²+6x+5 mínima?
Respuesta: -3
- f'(x)=2x+6
- Iguala a 0: 2x+6=0 → x=−3
Idea clave: Para una parábola hacia arriba, pendiente 0 es el punto más bajo.
Halla todos los puntos críticos (donde la pendiente es 0) de f(x)=x³−3x.
Respuesta: undefined
- f'(x)=3x²−3
- Iguala a 0: 3x²−3=0 → x²=1 → x=1, x=−1
Idea clave: Puede haber más de un punto crítico — reúne todas las soluciones.