La Regla de la Potencia
“Regla de la potencia: baja el exponente, y reduce en uno.”
La fórmula
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹Cómo leerla: para derivar xⁿ, baja el exponente n al frente y reduce el exponente en uno
- n
- — el exponente de la potencia
- d/dx
- — el símbolo para 'derivar respecto a x'
- xⁿ⁻¹
- — la potencia con su exponente reducido en 1
El gancho
No hace falta usar la definición de límite cada vez — para las potencias es un solo movimiento: 'baja, reduce'.
En palabras simples
La función pendiente de xⁿ es: multiplica al frente por el exponente n, y reduce el exponente a n−1.
La intuición
Mientras mayor sea el exponente, más pronunciada sube la curva. Derivar extrae esa 'tasa de subida (n)' al frente y baja el grado un escalón para formar la pendiente.
Cómo se construye
Solo dos movimientos — ① baja el exponente como factor, y ② resta 1 al exponente. La regla simplemente comprime el patrón que obtendrías aplicando la definición de límite a x³, x⁴, y así sucesivamente.
Ejemplo
Deriva x⁵: el exponente 5 baja al frente, el exponente pasa a 4 → 5x⁴. En x=1 la pendiente es 5.
Error común
Es fácil olvidar restar 1 al exponente. Además, la derivada de una constante es 0 — una constante es x⁰ con n=0, así que el factor del frente es 0.
Dónde se usa
Derivar cualquier polinomio es básicamente aplicar esta regla término por término. Como la mayoría de los modelos en física y economía son polinomios, la usas a diario.
De dónde viene
Newton extrajo este patrón expandiendo (1+h)ⁿ con el teorema del binomio; más tarde se demostró que también es válido para exponentes racionales y reales.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la derivada de x⁶?
- 6x⁵✓
- 6x⁷
- x⁵
- 5x⁶
Práctica
¿Cuál es la derivada de f(x)=x⁴ en x=2?
Respuesta: 32
- f'(x)=4x³
- Sustituye x=2 → 4·8 = 32
Idea clave: Baja el exponente, redúcelo, y luego sustituye una vez.
¿Cuál es la derivada de f(x)=x²+x³ en x=1? (término por término)
Respuesta: 5
- f'(x)=2x+3x²
- Sustituye x=1 → 2 + 3 = 5
Idea clave: La derivada de una suma es cada término derivado, sumados.
Deriva f(x)=5x² y sustituye x=3.
Respuesta: 30
- La constante 5 acompaña sin cambios: f'(x)=5·2x=10x
- Sustituye x=3 → 30
Idea clave: Un coeficiente constante pasa intacto a través de la derivada.