La Derivada — Pendiente en un Instante
“Una derivada es simplemente «la pendiente en este mismo instante».”
La fórmula
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / hCómo leerla: el límite de cuántas veces más cambia la salida en comparación con un cambio diminuto en x
- h
- — un cambio diminuto en x
- f(x+h)−f(x)
- — cuánto cambió el valor de la función
- lim(h→0)
- — el límite cuando ese cambio se reduce hacia 0
El gancho
La derivada se ve intimidante, pero en realidad es una sola cosa — «qué tan empinado está justo en este instante».
En palabras simples
Toma la pendiente entre dos puntos (subida ÷ avance), y luego deslízalos infinitamente cerca para obtener «la pendiente en un solo punto».
La intuición
Apoya una regla en un punto de una curva y se convierte en la recta tangente. Su pendiente es la derivada — como la «inclinación actual» de una colina.
Cómo se construye
Arriba, f(x+h)−f(x) es la «subida», abajo, h es el «avance» → su cociente es una pendiente. Lleva h a 0 y lo que queda es la pendiente en ese instante.
Ejemplo
Para f(x)=x² en x=1: (1+h)²−1 = 2h+h², divide entre h para obtener 2+h, y cuando h→0 eso da 2. Así que la pendiente en x=1 es 2.
Error común
«Cambio instantáneo» no significa que el cambio sea 0 — el cociente de dos cantidades cercanas a cero puede converger a un valor distinto de cero.
Dónde se usa
Velocidad (derivada de la posición), optimización (máximos/mínimos donde la pendiente es 0), y el descenso de gradiente en machine learning — todo eso es esta misma idea.
De dónde viene
Newton y Leibniz la inventaron cada uno por su lado en el siglo XVII; la notación dy/dx de Leibniz fue la que sobrevivió.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Para f(x)=x², ¿cuál es la derivada (pendiente) en x=3?
- 3
- 6✓
- 9
- 0
Práctica
Para f(x)=x³, ¿cuál es la pendiente en x=2?
Respuesta: 12
- f'(x)=3x²
- Sustituye x=2 → 3·4 = 12
Idea clave: Derivada = pendiente en ese punto. Plantea la fórmula, sustituye una vez.
En la curva y=x², ¿dónde es 0 la pendiente de la tangente? Anota también por qué.
Respuesta: undefined
- y'=2x
- pendiente 0 → 2x=0 → x=0
- en el «fondo» de la curva la tangente es horizontal, así que la pendiente es 0
Idea clave: Donde la pendiente es 0 = el pico/fondo de la función. La semilla de la optimización.