Aproximación de Taylor: curvas como polinomios
“La aproximación de Taylor cambia una curva por un polinomio.”
La fórmula
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²Cómo leerla: imitar una curva cerca de un punto con un polinomio, igualando su valor, su pendiente y su curvatura en orden
- f(a)
- — el valor en ese punto: orden 0, iguala la altura
- f'(a)(x−a)
- — iguala la pendiente: orden 1, la recta tangente
- ½f''(a)(x−a)²
- — iguala la curvatura: orden 2, la concavidad
El gancho
¿Cómo calcula una computadora sin o eˣ? La respuesta es sorprendente: sustituye la curva por un polinomio.
En palabras simples
Una función complicada aproximada, cerca de un punto, por un polinomio simple ajustado para compartir allí el mismo valor, la misma pendiente y la misma curvatura.
La intuición
Traza una tangente en un punto (orden 1) y imita aproximadamente su entorno. Añade la 'curvatura' de la curva (orden 2) y se ajusta más. Cada término extra envuelve el polinomio más ceñido a la curva real, en un tramo más amplio.
Cómo se construye
El orden 0 es la altura f(a); el término de orden 1, f'(a)(x−a), construye la tangente; el término de orden 2, ½f''(a)(x−a)², iguala la concavidad. Cada término hace coincidir una derivada más en ese punto.
Ejemplo
Para eˣ cerca de a=0: f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1 → 1+x+x²/2. En x=0.1 eso da 1+0.1+0.005 = 1.105, prácticamente el valor real e^0.1 ≈ 1.10517.
Error común
La aproximación solo es buena cerca del punto base a. Se aleja de la realidad a medida que te alejas de él, y añadir términos mejora la precisión pero no la hace válida en todas partes (radio de convergencia).
Dónde se usa
Cómo evalúan las calculadoras y computadoras sin, eˣ, ln; la aproximación de ángulo pequeño sinθ≈θ en física; la linealización en ingeniería: cálculo práctico en todas partes.
De dónde viene
Brook Taylor la formalizó en el siglo XVIII; el caso particular centrado en a=0 se llama serie de Maclaurin.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Hasta su término de orden 1 (lineal), ¿con qué coincide una aproximación de Taylor?
- la recta tangente✓
- el área
- el límite
- la segunda derivada
Práctica
Usando la aproximación de orden 1 (tangente) 1+x para eˣ, ¿cuál es la estimación en x=0.2?
Respuesta: 1.2
- Aproximación: 1+x
- Sustituye x=0.2 → 1.2 (el valor real e^0.2 ≈ 1.221)
Idea clave: La aproximación de orden 1 es la tangente: bastante precisa de cerca.
Usando eˣ ≈ 1+x+x²/2 (centrada en a=0), ¿cuál es la estimación en x=1?
Respuesta: 2.5
- 1 + 1 + 1²/2 = 1 + 1 + 0.5
- = 2.5 (el valor real e ≈ 2.718; el error es grande a esta distancia)
Idea clave: Cuanto más lejos del punto base, más términos necesitas.
Explica la aproximación de ángulo pequeño sinθ≈θ usando Taylor. ¿Cuál es la aproximación de orden 1 de sin en θ=0?
Respuesta: undefined
- sin 0 = 0, (sin)'=cos, cos 0 = 1
- Orden 1: 0 + 1·(θ−0) = θ
- así que para θ pequeño, sinθ ≈ θ
Idea clave: La aproximación de ángulo pequeño de la física no es más que el término de orden 1 de Taylor.