La Integral Definida
“Una integral definida comprime un área en un solo número.”
La fórmula
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)Cómo leerla: el área de a a b es la antiderivada F evaluada en b menos en a
- a, b
- — el inicio y el fin del intervalo (límites inferior y superior)
- F
- — una antiderivada de f (una función cuya derivada es f)
- F(b) − F(a)
- — el valor arriba menos el valor abajo
El gancho
Una integral definida no necesita «sumar infinitamente» — solo sustituyes dos números en una antiderivada y restas.
En palabras simples
El área sobre [a,b], calculada no mediante una suma de Riemann sino hallando una antiderivada F y tomando F(b)−F(a).
La intuición
Una integral definida es un solo número (no una función). Como marcadores de distancia, la diferencia entre lo acumulado hasta el final, F(b), y hasta el inicio, F(a), es el área nueva acumulada en ese tramo.
Cómo se construye
① Halla una antiderivada F de f (una función que al derivarla da f), ② sustituye el límite superior b, y ③ resta el valor en el límite inferior a. El corchete [F(x)]ₐᵇ denota ese «sustituir y restar».
Ejemplo
∫₀³ x² dx: la antiderivada es x³/3. [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
Error común
Una integral definida es un número, no una función. Y es «área con signo», así que las partes debajo del eje x cuentan como negativas — el valor puede ser cero o incluso negativo.
Dónde se usa
Obtener un número concreto para un «total a lo largo de un intervalo» — distancia total, un valor promedio, trabajo, probabilidad, etcétera.
De dónde viene
El símbolo ∫ de Leibniz es una S estirada, del latín summa («suma») — el rastro de «sumar» todavía vive en la notación.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto vale ∫₀² x dx?
- 1
- 2✓
- 4
- 0
Práctica
Evalúa ∫₀² 2x dx.
Respuesta: 4
- Antiderivada: x²
- [x²]₀² = 4 − 0 = 4
Idea clave: Halla la antiderivada, sustituye el límite superior e inferior, y resta.
Evalúa ∫₁² 3x² dx.
Respuesta: 7
- Antiderivada: x³
- [x³]₁² = 8 − 1 = 7
Idea clave: Gracias al coeficiente 3, la antiderivada es un limpio x³.
Evalúa ∫₀¹ (2x+1) dx.
Respuesta: 2
- Antiderivada: x²+x
- [x²+x]₀¹ = (1+1) − 0 = 2
Idea clave: Halla la antiderivada término a término y combina.