La regla del producto
“Regla del producto: deriva una a la vez, luego suma.”
La fórmula
(f·g)' = f'·g + f·g'Cómo leerla: la derivada de un producto es 'deriva el primero, deja el segundo' más 'deja el primero, deriva el segundo'
- f, g
- — las dos funciones que se multiplican
- f', g'
- — la derivada de cada función
- f'g + fg'
- — 'deriva el primero × deja el segundo' + 'deja el primero × deriva el segundo'
El gancho
El error más común es creer que (fg)' = f'g' — la derivada de un producto no es tan simple.
En palabras simples
Para derivar un producto de dos funciones, deriva una a la vez y suma los dos resultados.
La intuición
Imagina un rectángulo de ancho f y alto g, área fg. Mueve un poco cada lado y el área crece de dos maneras — por lo que creció el ancho (f'g) y por lo que creció el alto (fg'). Su suma es la tasa de crecimiento del área.
Cómo se construye
Dos partes — f'g (la contribución cuando solo cambia el primero) y fg' (cuando solo cambia el segundo). El pequeño fragmento donde ambos cambian a la vez (f'g'·h) se desvanece cuando h→0, así que no sobrevive.
Ejemplo
Con f=x², g=x³: f'g+fg' = 2x·x³ + x²·3x² = 2x⁴+3x⁴ = 5x⁴. Y en efecto x²·x³=x⁵ se deriva a 5x⁴ — coincide perfectamente.
Error común
(fg)' ≠ f'g'. Derivar cada una y multiplicar es incorrecto. Debes SUMAR los dos términos.
Dónde se usa
En cualquier lugar donde aparezca un producto de dos cantidades que cambian — velocidad×masa, largo×ancho. También es un pilar para las derivadas que vienen después.
De dónde viene
Leibniz dedujo la derivada de un producto en la década de 1670, dejando establecida la regla en la forma que usamos hoy.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿A qué equivale (f·g)'?
- f'g'
- f'g + fg'✓
- f' + g'
- fg
Práctica
Deriva h(x)=x·x² con la regla del producto y halla h'(2).
Respuesta: 12
- f=x, f'=1 ; g=x², g'=2x
- h'=1·x² + x·2x = x²+2x² = 3x²
- Sustituye x=2 → 3·4 = 12
Idea clave: Es lo mismo que derivar x·x²=x³ a 3x² — la comprobación es correcta.
Deriva h(x)=(x+1)(x+2) con la regla del producto y halla h'(1).
Respuesta: 5
- f=x+1, f'=1 ; g=x+2, g'=1
- h'=(x+2) + (x+1) = 2x+3
- Sustituye x=1 → 5
Idea clave: Al expandir es x²+3x+2, derivada 2x+3 — los resultados concuerdan.
Deriva h(x)=x²·(x+1) con la regla del producto, luego expande para comprobar.
Respuesta: undefined
- f=x², f'=2x ; g=x+1, g'=1
- h'=2x(x+1) + x²·1 = 2x²+2x+x² = 3x²+2x
- Comprobación: expande a x³+x², deriva a 3x²+2x — coincide
Idea clave: La regla del producto y expandir-y-derivar siempre coinciden.