El teorema fundamental del cálculo
“Derivación e integración son un par que se deshace mutuamente.”
La fórmula
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)Cómo leerla: deriva la función de área acumulada hasta ahora y vuelves a la función original — integración y derivación son operaciones inversas
- ∫ₐˣ f(t) dt
- — el área acumulada desde a hasta x (la función de acumulación)
- d/dx
- — deriva esa función de área
- f(x)
- — y vuelves a caer en la función original
El gancho
Dos ideas que crecieron por separado — cortar (derivación) y apilar (integración) — resultan ser un par que se deshace mutuamente. Ese es el gran descubrimiento del cálculo.
En palabras simples
Deriva la función que ha ido acumulando área desde a hasta x, y la función original f(x) reaparece de inmediato. Derivación e integración son inversas.
La intuición
Vierte agua en un balde. Deriva la cantidad acumulada hasta el momento (la integral, la acumulación) respecto al tiempo, y obtienes la velocidad de vertido en este instante (la función original). La tasa de cambio de lo acumulado total = el valor actual.
Cómo se construye
Tiene dos partes — ① derivar la función de acumulación de área devuelve f, y ② por lo tanto una integral definida puede calcularse como F(b)−F(a). La antiderivada que te da la derivación es lo que resuelve la integral.
Ejemplo
F(x)=∫₀ˣ t dt es el área de un triángulo con base x y altura x, así que x²/2. Derívala: d/dx(x²/2)=x, cayendo exactamente de vuelta en la función original f(t)=t.
Error común
A menudo se piensa que derivación e integración son 'dos procedimientos sin relación'. En realidad se cancelan como la suma y la resta — operaciones inversas.
Dónde se usa
Gracias a este teorema no hay que sumar áreas para siempre; encuentra una sola antiderivada y la integral definida sale sola — el corazón palpitante del cálculo práctico.
De dónde viene
Predecesores como Barrow (maestro de Newton) conocían piezas aisladas, pero unir derivación e integración en un solo teorema fue obra de Newton y Leibniz.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Qué dos operaciones une el teorema fundamental?
- suma y multiplicación
- derivación e integración✓
- límites y continuidad
- producto y cociente
Práctica
Para g(x)=∫₀ˣ t² dt, usa el teorema para hallar g'(3).
Respuesta: 9
- Por el teorema: g'(x)=x²
- Sustituye x=3 → 9
Idea clave: Deriva la función de acumulación y la función interna reaparece de inmediato.
Usa el teorema para evaluar ∫₀⁴ 2t dt.
Respuesta: 16
- Antiderivada: t²
- [t²]₀⁴ = 16 − 0 = 16
Idea clave: Encuentra la antiderivada y el área sale en una sola resta.
¿Cuánto es d/dx ∫₁ˣ (t³+1) dt? Escribe una línea explicando por qué.
Respuesta: undefined
- Por el teorema, = x³+1
- Porque derivar el área acumulada hasta ahora da el valor que se está vertiendo justo en este instante
Idea clave: El límite inferior (1) no afecta la derivada — solo importa el límite superior x.