Integrales Múltiples
“Una integral múltiple es 'multiplica cada trocito de área por su altura, y suma todo' — un volumen.”
La fórmula
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dyCómo leerla: Sobre una región R, integra f una vez en x y otra en y para hallar el volumen atrapado bajo la superficie
- ∬_R
- — El signo de integral doble sobre una región R
- dA
- — El elemento de área dA = un pequeño trozo de área
- dx dy
- — Integral interna (x) primero, integral externa (y) después — una integral iterada
El gancho
Si una integral en 1D es una regla para el área, una integral en 2D es una regla para el volumen — captura todo el espacio entre una superficie y el suelo.
En palabras simples
Divides la región base R en pequeños rectángulos, multiplicas el área de cada trozo por la altura de la función encima para formar una columnita, y sumas todas las columnas.
La intuición
Imagina un mapa de ciudad donde la altura de un edificio es f(x,y). Para cada manzana (un área pequeña dA) calcula 'área × altura = el volumen de esa manzana', y luego suma sobre toda la ciudad para el volumen total. Hay dos signos de integral porque barres una vez en x y otra en y.
Cómo se construye
Una integral iterada se calcula de adentro hacia afuera: primero integras en x manteniendo y fija (obteniendo el área de una rebanada transversal), luego integras eso en y (apilando las rebanadas en un volumen). Mantener y constante en la integral interna refleja exactamente la derivada parcial.
Ejemplo
Calcula ∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy. Interna (x): ∫₀¹(x+y)dx = [x²/2 + yx]₀¹ = 1/2 + y. Externa (y): ∫₀¹(1/2 + y)dy = [y/2 + y²/2]₀¹ = 1/2 + 1/2 = 1. El volumen es 1.
Error común
'Dos signos de integral significa el doble de difícil' es incorrecto — haces una a la vez, tratando la otra variable como constante, en secuencia. Para una región suave no importa si integras primero en x o en y (teorema de Fubini).
Dónde se usa
Masa, centro de masa y momento de inercia (integrando densidad sobre una región), distribuciones de probabilidad conjunta (la probabilidad total de 2 variables = 1), flujo electromagnético e integrales de iluminación en gráficos por computadora — todo 'total de una cantidad repartida sobre una región' es una integral múltiple.
De dónde viene
Una extensión de la integral de Newton y Leibniz a varias variables; en el siglo XIX Fubini demostró que puede reescribirse como integrales simples iteradas, abriendo la puerta al cálculo práctico.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es ∫₀¹∫₀¹ 1 dx dy? (volumen de altura 1 sobre el cuadrado unitario)
- 0
- 1✓
- 2
- 1/2
Práctica
Calcula ∫₀²∫₀³ 1 dx dy. (volumen de una caja de altura 1 sobre una base de 3×2)
Respuesta: 6
- Interna: ∫₀³ 1 dx = 3
- Externa: ∫₀² 3 dy = 3·2 = 6
Idea clave: Integrar la constante 1 da área de la región × altura = volumen.
Calcula ∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy.
Respuesta: 1
- Interna (x): ∫₀¹(x+y)dx = 1/2 + y
- Externa (y): ∫₀¹(1/2 + y)dy = 1/2 + 1/2 = 1
Idea clave: Las integrales iteradas van de adentro hacia afuera — y es constante en la interna.
Calcula ∫₀²∫₀² xy dx dy.
Respuesta: 4
- Interna (x): ∫₀² xy dx = y·[x²/2]₀² = 2y
- Externa (y): ∫₀² 2y dy = [y²]₀² = 4
Idea clave: Cuando las variables se separan puedes factorizar: (∫x dx)(∫y dy) = 2·2 = 4.
Explica en tu cuaderno por qué invertir el orden (primero x o primero y) da el mismo resultado (teorema de Fubini).
Respuesta: undefined
- El volumen es un solo objeto real — apilar rebanadas verticales u horizontales llena el mismo espacio
- Para una función continua (integrable) en una región acotada, ambas integrales iteradas equivalen a ese volumen
- Esto es el teorema de Fubini — la condición bajo la cual se puede intercambiar el orden
Idea clave: Para funciones suaves el orden es libre — solo hay un volumen subyacente.