Derivadas Parciales
“Una derivada parcial es 'mantén todo lo demás fijo — qué tan empinada es solo esta dirección'.”
La fórmula
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂yCómo leerla: En una función de varias variables, la pendiente instantánea cuando solo se mueve x y todas las demás variables se mantienen fijas
- ∂
- — El signo de parcial — 'deriva solo en esta dirección'
- ∂f/∂x
- — Derivada parcial respecto a x — pendiente tratando y como constante
- y
- — La otra variable, mantenida constante esta vez
El gancho
Estás parado en una ladera. '¿Qué tan empinado es si camino al este?' y '¿qué tan empinado si camino al norte?' son números distintos — una derivada parcial es la pendiente en una sola dirección.
En palabras simples
Para una función de dos o más variables, congelas todas las variables excepto la que te interesa, y luego tomas una derivada ordinaria.
La intuición
Imagina un terreno accidentado f(x,y). ∂f/∂x es la pendiente si avanzas solo de este a oeste; ∂f/∂y es la pendiente si avanzas solo de norte a sur. Incluso en un solo punto, la inclinación depende de la dirección, así que mides cada dirección por separado.
Cómo se construye
La mecánica es idéntica a la derivación ordinaria, con una regla extra: cada variable excepto la que estás derivando se trata como un número simple (una constante). Así, al hacer ∂/∂x, tratas a y como si fuera el número 3.
Ejemplo
Sea f(x,y)=x²y. Derivando en x (y constante): ∂f/∂x = 2xy. Derivando en y (x² constante): ∂f/∂y = x². En el punto (2,3): ∂f/∂x = 2·2·3 = 12 y ∂f/∂y = 2² = 4.
Error común
Es tentador pensar que y también se mueve mientras calculas ∂f/∂x. No es así — en una derivada parcial, y está completamente congelada. El caso donde y se mueve junto con x lo maneja otra herramienta, la derivada total.
Dónde se usa
Descenso de gradiente en aprendizaje automático (una derivada parcial por cada uno de miles de pesos = el gradiente), ecuaciones diferenciales parciales para calor y fluidos, utilidad marginal en economía, cálculos de campos en física — cualquier mundo con varias variables funciona con parciales.
De dónde viene
En el siglo XVIII, Euler y d'Alembert refinaron la idea de derivar una variable a la vez mientras estudiaban cuerdas vibrantes y flujo de calor. El símbolo ∂, una 'd redondeada', se introdujo para distinguirla de la d ordinaria.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la derivada parcial de f(x,y)=x²y respecto a y?
- 2xy
- x²✓
- 2x
- y
Práctica
Para f(x,y)=x²+y², halla ∂f/∂x en el punto (3,5).
Respuesta: 6
- Trata y como constante, deriva en x: ∂f/∂x = 2x
- Sustituye x=3 → 2·3 = 6
Idea clave: Una derivada parcial congela todas menos una variable — luego es solo derivación ordinaria.
Para f(x,y)=x²y, halla ∂f/∂x en el punto (2,3).
Respuesta: 12
- Trata y como constante, deriva en x: ∂f/∂x = 2xy
- Sustituye (2,3) → 2·2·3 = 12
Idea clave: Al derivar en x, y se queda como un número que acompaña.
Para f(x,y)=3x+4y, halla ∂f/∂y.
Respuesta: 4
- Trata x como constante, así que 3x se deriva a 0
- 4y derivado en y → 4
Idea clave: Los términos sin la variable objetivo son constantes y desaparecen.
Explica en tu cuaderno por qué es válido tratar a y como constante al calcular ∂f/∂x.
Respuesta: undefined
- Definición: en f(x+h,y)−f(x,y), y se mantiene idéntica en ambos términos
- Solo x se mueve en h → y nunca cambia, así que actúa como constante
- Geométricamente cortas una 'sección transversal este-oeste' y mides la pendiente de esa sección
Idea clave: La definición misma — pendiente de una rebanada en una dirección — es exactamente lo que significa 'mantener fijas las demás variables'.