El Número e
“e es la base del «crecimiento natural».”
La fórmula
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828Cómo leerla: el número al que te acercas capitalizando 1/n una y otra vez en n pasos, aproximadamente 2.718
- n
- — cuántas veces capitalizas (creciendo sin límite)
- (1+1/n)ⁿ
- — el valor obtenido al capitalizar en n pasos
- e
- — el límite al que se acerca ≈ 2.71828
El gancho
Tan famoso como π pero mucho menos comprendido, e se esconde casi en todos los lugares donde la naturaleza «crece».
En palabras simples
Toma un interés del 100%, divídelo en pasos de capitalización cada vez más finos, y a medida que el número de pasos tiende a infinito, el resultado se acerca a e ≈ 2.718.
La intuición
Un dólar al 100% de interés anual. Pagado una vez al final del año, obtienes $2. Dividido en dos mitades da (1.5)²=$2.25. Cuanto más fino cortes, más crece — pero por más fino que sea, nunca pasa de 2.71828… y converge a ese valor.
Cómo se construye
La parte clave es (1+1/n)ⁿ. Dentro del paréntesis está «crecer un poco (1+1/n)», el exponente n es «repetir eso n veces». Aumenta n y estas dos cosas tiran una contra la otra, asentándose en e.
Ejemplo
n=1 → 2, n=2 → (1.5)²=2.25, n=12 → alrededor de 2.613, n=∞ → 2.71828…. Sigue subiendo pero nunca rompe el techo que es e.
Error común
e no es un número irracional cualquiera. Es la única base cuya función se deriva a sí misma, por eso aparece de forma tan especial en la naturaleza.
Dónde se usa
Capitalización continua, crecimiento poblacional, desintegración radiactiva, enfriamiento, probabilidad (Poisson) — cualquier proceso que cambia en proporción a su propio tamaño.
De dónde viene
Jacob Bernoulli se topó con este límite en un problema de interés compuesto, y Euler lo fijó como constante al nombrarlo e.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es el valor aproximado de e?
- 1.414
- 2.718✓
- 3.141
- 1.618
Práctica
¿Cuánto vale (1+1/n)ⁿ cuando n=1?
Respuesta: 2
- (1+1/1)¹ = 2¹
- = 2
Idea clave: Capitalizar una sola vez da 2, el punto de partida hacia e.
¿Cuánto vale (1+1/2)²? (capitalizando en dos medios pasos)
Respuesta: 2.25
- 1+1/2 = 1.5
- 1.5² = 2.25
Idea clave: Pasos más finos se acercan un poco más a 2.718….
Con un interés anual del 100% capitalizado cada semestre, ¿en qué se convierte $1 después de un año? Compara con la capitalización continua (e).
Respuesta: undefined
- Dos pasos del 50%: (1.5)² = $2.25
- Capitalizado con una finura infinita sería e ≈ $2.718 — mayor
Idea clave: Una capitalización más fina rinde más, pero el techo es un factor de e.