La regla de la cadena
“Regla de la cadena: derivada externa × derivada interna, multiplicadas a lo largo de la cadena.”
La fórmula
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)Cómo leerla: deriva la función externa (dejando el interior igual), y luego multiplica por la derivada de la función interna
- g(x)
- — la función interna
- f'(g(x))
- — deriva la función externa, dejando el interior intacto
- g'(x)
- — la derivada de la función interna
El gancho
Cuando una función está dentro de otra función, la derivada fluye como 'externa × interna' — la regla que más usarás en cálculo.
En palabras simples
Para derivar una composición (una función dentro de otra), multiplica la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
La intuición
Imagina engranajes acoplados. La rueda externa gira a cierto múltiplo de la velocidad de la rueda interna. Las tasas de cambio se multiplican a lo largo de la cadena — de ahí el nombre 'regla de la cadena'.
Cómo se construye
Pélalo como una cebolla, de afuera hacia adentro. Deriva la f externa (dejando el interior g tal cual), y luego multiplica por qué tan rápido cambia g con x (eso es g').
Ejemplo
Para y=(x²+1)³, la externa es un cubo (→3u²), la interna es x²+1 (→2x). Multiplica: y'=3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)². En x=1 eso es 6·1·4 = 24.
Error común
Es fácil olvidar multiplicar por la derivada interna g'. Detenerte en 3(x²+1)² — solo la externa — está mal.
Dónde se usa
Siempre que haya exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas envolviendo otras expresiones; las tasas relacionadas en física; y la retropropagación en redes neuronales — todo es regla de la cadena.
De dónde viene
Aquí es donde brilla la notación dy/dx de Leibniz — dy/dx = dy/du · du/dx se lee como si las fracciones simplemente se cancelaran.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la derivada de y=(3x+1)²?
- 2(3x+1)
- 6(3x+1)✓
- 6x
- 3(3x+1)²
Práctica
¿Cuál es la derivada de y=(2x+1)³ en x=0?
Respuesta: 6
- Externa: cubo → 3(2x+1)² ; interna: 2x+1 → 2
- y'=3(2x+1)²·2 = 6(2x+1)²
- Sustituye x=0 → 6·1 = 6
Idea clave: Después de la derivada externa, siempre multiplica por la derivada interna 2.
¿Cuál es la derivada de y=(x²+1)² en x=1?
Respuesta: 8
- Externa: cuadrado → 2(x²+1) ; interna: x²+1 → 2x
- y'=2(x²+1)·2x = 4x(x²+1)
- Sustituye x=1 → 4·1·2 = 8
Idea clave: Expande a x⁴+2x²+1, deriva a 4x³+4x, en x=1 da 8 — coincide.
Deriva y=(5x−2)⁴ con la regla de la cadena.
Respuesta: undefined
- Externa: potencia 4 → 4(5x−2)³ ; interna: 5x−2 → 5
- y'=4(5x−2)³·5 = 20(5x−2)³
Idea clave: No olvides multiplicar por la derivada interna (aquí, 5).