Convergencia de series
“Sumar para siempre aún puede dar una respuesta finita — siempre que los fragmentos se reduzcan lo bastante rápido.”
La fórmula
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1Cómo leerla: la suma de infinitos términos se define como el límite al que se aproximan las sumas parciales de los primeros N términos
- aₙ
- — el n-ésimo término de la serie
- Σ(n=1..N)
- — la suma finita de solo los primeros N términos
- S
- — el límite al que se aproximan las sumas parciales — la suma de la serie
- r
- — la razón común de una serie geométrica — converge cuando |r|<1
El gancho
Puedes sumar infinitos números y aun así obtener una respuesta finita — 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯ = 2.
En palabras simples
La 'suma' de una serie infinita no se suma literalmente hasta el final. Formas la suma parcial de los primeros N términos; si ese valor se aproxima a algún número S conforme N crece, la serie 'converge a S'.
La intuición
Supón que cruzas una habitación cubriendo la mitad de la distancia restante en cada paso: ½, ¾, ⅞, … Nunca llegas del todo a la pared, pero la distancia total se aproxima a 1 (una habitación). Infinitos fragmentos caben dentro de una pared finita.
Cómo se construye
Lo que importa es qué tan rápido los términos aₙ se reducen a 0. Si se reducen a la mitad cada vez (razón ½), las sumas parciales se acercan a una pared y convergen. Si se reducen demasiado lento, las sumas parciales crecen sin límite y divergen. Una serie geométrica se estabiliza exactamente en a/(1−r) cuando |r|<1.
Ejemplo
Σ(n=0..∞)(½)ⁿ = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ⋯. Las sumas parciales son 1, 1.5, 1.75, 1.875, … → 2. Con la fórmula, a=1, r=½ da 1/(1−½)=2.
Error común
¿Que los términos tiendan a 0 garantiza la convergencia? No. La serie armónica 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⋯ tiene términos que tienden a 0 y aun así diverge a infinito. Tender a 0 no es lo mismo que tender a 0 lo bastante rápido.
Dónde se usa
Expansiones decimales infinitas, valor presente de anualidades, aproximar funciones con series de Taylor, análisis de error en cálculo iterativo — la convergencia de series subyace en cualquier lugar donde el infinito se maneja de forma finita.
De dónde viene
La paradoja de Zenón (Aquiles y la tortuga) desconcertó a la gente durante más de dos mil años, hasta que Cauchy hizo rigurosas las 'sumas infinitas' con la definición como límite de sumas parciales.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es Σ(n=0..∞)(1/3)ⁿ = 1 + 1/3 + 1/9 + ⋯ ?
- 3/2✓
- 1/2
- 3
- diverge
Práctica
Halla la suma Σ(n=0..∞)(1/2)ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯.
Respuesta: 2
- serie geométrica a=1, r=1/2
- a/(1−r) = 1/(1−1/2) = 2
Idea clave: Una serie geométrica es simplemente a/(1−r).
Halla la suma Σ(n=1..∞)(1/2)ⁿ = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯.
Respuesta: 1
- primer término a=1/2, razón r=1/2
- a/(1−r) = (1/2)/(1/2) = 1
Idea clave: Dónde empieza la suma cambia el primer término a.
Halla la suma Σ(n=0..∞)(0.9)ⁿ.
Respuesta: 10
- a=1, r=0.9
- 1/(1−0.9) = 1/0.1 = 10
Idea clave: Cuanto más se acerca r a 1, más grande explota la suma.
¿La serie armónica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ converge o diverge?
Respuesta: 1
- los términos 1/n tienden a 0, pero demasiado lento
- las sumas parciales crecen sin límite, así que diverge
Idea clave: Los términos que tienden a 0 pueden aun así diverger — la serie armónica lo prueba.