Concavidad y la segunda derivada
“El signo de la segunda derivada = la dirección en que se dobla la curva.”
La fórmula
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩Cómo leerla: si la segunda derivada es positiva, la curva es cóncava hacia arriba (∪); si es negativa, es cóncava hacia abajo (∩)
- f''(x)
- — la derivada tomada dos veces (la segunda derivada)
- ∪
- — cóncava hacia arriba (forma de copa)
- ∩
- — cóncava hacia abajo (forma de gorro)
El gancho
Deriva una vez más y podrás ver hacia dónde se está 'doblando' una curva.
En palabras simples
La segunda derivada f'' es la tasa de cambio de la pendiente. Su signo te dice si la curva se dobla como una copa (∪) o como un gorro (∩).
La intuición
Si la pendiente misma va aumentando (f''>0), la curva se dobla hacia arriba en forma de copa (∪). Si la pendiente va disminuyendo (f''<0), es un gorro (∩). f'' es 'la pendiente de la pendiente'.
Cómo se construye
Deriva una vez para obtener la pendiente (f'), y otra vez para ver cómo cambia esa pendiente (f''). Signo positivo significa cóncava hacia arriba, negativo significa cóncava hacia abajo, y donde el signo cambia es un punto de inflexión.
Ejemplo
Para f(x)=x³, f''(x)=6x. En x=1, f''=6>0, así que es cóncava hacia arriba; en x=−1, f''=−6<0, así que es cóncava hacia abajo. El signo cambia en x=0, que es el punto de inflexión.
Error común
A menudo se llama incorrectamente 'cóncava' a lo que es 'cóncava hacia arriba (∪)'. Además, f''=0 no garantiza un punto de inflexión — el signo tiene que cambiar realmente.
Dónde se usa
Decidir si un punto crítico es un máximo o un mínimo (el criterio de la segunda derivada), la forma exacta de una gráfica, la utilidad marginal decreciente en economía, entre otros.
De dónde viene
La idea de la curvatura (qué tan bruscamente se dobla algo) se remonta a Newton y Leibniz; la segunda derivada se convirtió en la herramienta sencilla para leer el signo de esa curvatura.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la segunda derivada f''(x) de f(x)=x²?
- 2x
- 2✓
- 0
- x²
Práctica
¿Cuánto es f''(2) para f(x)=x³?
Respuesta: 12
- f'(x)=3x²
- f''(x)=6x
- Sustituye x=2 → 12
Idea clave: Deriva dos veces para obtener la segunda derivada.
¿Cuánto es f''(1) para f(x)=x⁴?
Respuesta: 12
- f'(x)=4x³
- f''(x)=12x²
- Sustituye x=1 → 12
Idea clave: f''>0, así que cerca de x=1 la curva es cóncava hacia arriba.
Encuentra la coordenada x del punto de inflexión de f(x)=x³−3x².
Respuesta: undefined
- f'(x)=3x²−6x
- f''(x)=6x−6
- Iguala a 0: 6x−6=0 → x=1 (el signo cambia alrededor de este valor, así que es un punto de inflexión)
Idea clave: Un punto de inflexión es donde f''=0 y su signo cambia.