El teorema de Bayes
“No juzgues solo por la precisión de la evidencia — qué tan rara era de entrada puede cambiar la respuesta por completo.”
La fórmula
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)Cómo leerla: la probabilidad de A tras observar la evidencia B es la probabilidad previa de A multiplicada por qué tan probable es B dado A, dividida entre la probabilidad total de B
- P(A|B)
- — la probabilidad de A tras observar B (la posterior)
- P(A)
- — la probabilidad de A antes de la evidencia (la previa)
- P(B|A)
- — la probabilidad de observar la evidencia B cuando A es cierto
- P(B)
- — la probabilidad total de observar la evidencia B
El gancho
Una prueba con 99% de precisión da positivo, y sin embargo tu probabilidad real de tener la enfermedad es de apenas un 17%. El teorema de Bayes explica por qué.
En palabras simples
El teorema de Bayes es la regla para actualizar una creencia con nueva evidencia. Toma la probabilidad de A antes de ver B (la previa), multiplícala por qué tan probable es B si A es cierto, divide entre la probabilidad total de B, y obtienes la probabilidad de A tras ver B (la posterior).
La intuición
La intuición clave es la 'tasa base'. Si una enfermedad es muy rara (1%), incluso una tasa de falsas alarmas del 5% entre el 99% de personas sanas produce muchos más positivos que los pacientes reales. Así que la mayoría de los positivos son 'sanos pero marcados por error'. No mires solo la precisión de la prueba — mira también qué tan rara era la enfermedad de entrada.
Cómo se construye
Tres piezas construyen la posterior: la previa P(A) es tu creencia inicial, la verosimilitud P(B|A) es qué tan convincente es la evidencia, y el denominador P(B) es la probabilidad total de la evidencia a través de todos los caminos. El denominador suele expandirse como P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A), contando tanto los 'verdaderos positivos' como los 'falsos positivos'.
Ejemplo
Prevalencia de la enfermedad P(D)=1%, sensibilidad de la prueba P(+|D)=99%, tasa de falsos positivos P(+|sano)=5%. Dado un positivo, ¿cuál es la probabilidad de estar realmente enfermo? P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594. Entonces P(D|+) = 0.0099/0.0594 ≈ 0.167, cerca del 17%.
Error común
La trampa más grande es confundir P(A|B) con P(B|A) (la 'falacia del fiscal'). 'La probabilidad de dar positivo dado que hay enfermedad' y 'la probabilidad de tener la enfermedad dado un positivo' son totalmente distintas. El puente entre ellas es el teorema de Bayes — y ese puente siempre involucra la previa.
Dónde se usa
Los filtros de spam, el diagnóstico médico, la valoración de pruebas en un juicio, el aprendizaje automático (clasificadores bayesianos ingenuos), la búsqueda y las recomendaciones, la prueba de hipótesis en ciencia — funciona en cualquier lugar donde se actualicen creencias a partir de evidencia incierta.
De dónde viene
La idea, dejada de forma póstuma por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVIII, fue desarrollada por Laplace. Durante mucho tiempo fue controvertida, y hoy es un marco central de la estadística y la inteligencia artificial.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Por qué la probabilidad de tener realmente una enfermedad muy rara sigue siendo baja incluso después de que una prueba muy precisa dé positivo?
- porque la prueba está dañada
- porque la gran mayoría de personas sanas produce muchos falsos positivos✓
- porque la sensibilidad de la prueba es baja
- porque la enfermedad es común
Práctica
Dado P(A)=0.5, P(B|A)=0.8, P(B|¬A)=0.4, encuentra P(A|B).
Respuesta: 0.667
- P(B) = 0.5·0.8 + 0.5·0.4 = 0.4 + 0.2 = 0.6
- P(A|B) = 0.4 / 0.6 ≈ 0.667
Idea clave: El denominador suma la probabilidad de la evidencia a través de todos los caminos.
Prevalencia P(D)=0.01, sensibilidad P(+|D)=0.99, falso positivo P(+|sano)=0.05. Encuentra P(D|+) dado un positivo.
Respuesta: 0.167
- P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
- P(D|+) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.167
Idea clave: Para una enfermedad rara, incluso con un positivo la probabilidad se mantiene baja — el poder de la tasa base.
La fábrica 1 produce el 60% de las bombillas (2% defectuosas), la fábrica 2 produce el 40% (5% defectuosas). Encuentra la probabilidad de que una bombilla defectuosa venga de la fábrica 1.
Respuesta: 0.375
- P(defectuosa) = 0.6·0.02 + 0.4·0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032
- P(fábrica 1 | defectuosa) = 0.012 / 0.032 = 0.375
Idea clave: Una probabilidad inversa solo compara la contribución de cada camino.
Un amigo dice: 'la prueba tiene 95% de precisión, así que un positivo significa 95% de probabilidad de enfermedad'. Explica en tu cuaderno por qué esto es incorrecto.
Respuesta: undefined
- confunden P(positivo|enfermedad) con P(enfermedad|positivo)
- ignoran la previa (la prevalencia) — si la enfermedad es rara, la respuesta cae drásticamente
- el teorema de Bayes es el puente entre los dos condicionales, y necesita la previa
Idea clave: La precisión no es la posterior — no puedes responder sin la previa.