La distribución binomial
“Binomial = (éxito pᵏ) × (fracaso) × (número de colocaciones ₙCₖ).”
La fórmula
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏCómo leerla: la probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p
- n
- — el número de ensayos independientes
- p
- — la probabilidad de éxito en un ensayo
- k
- — el número de éxitos (de 0 a n)
- ₙCₖ
- — el número de formas de colocar k éxitos entre n ensayos
El gancho
¿Cuál es la probabilidad de exactamente 6 caras en 10 lanzamientos de moneda? Si solo se repite éxito o fracaso, una sola fórmula da la respuesta.
En palabras simples
Es la distribución de la probabilidad de obtener k éxitos al realizar n ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito p.
La intuición
Es la imagen de tres factores multiplicados: la probabilidad de k éxitos pᵏ, la probabilidad de n−k fracasos (1−p)ⁿ⁻ᵏ, y el número de órdenes en que pueden caer los éxitos, ₙCₖ. Si ignoras el orden te perderías probabilidad, así que cuentas las colocaciones con una combinación y multiplicas.
Cómo se construye
Un orden específico (digamos éxito-éxito-fracaso…) tiene probabilidad pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Hay ₙCₖ órdenes así, así que al sumarlos se añade el coeficiente ₙCₖ. La media de esta distribución es np — 'número de ensayos × probabilidad de éxito'.
Ejemplo
Tres lanzamientos de moneda (p=1/2), probabilidad de 2 caras: ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8) = 3/8. Hay 3 posiciones posibles para las caras, de ahí el coeficiente 3.
Error común
La distribución binomial solo aplica cuando los ensayos son 'independientes' y la probabilidad de éxito p es 'constante'. Extraer sin reemplazo cambia la probabilidad cada vez, así que no es binomial.
Dónde se usa
El conteo de defectos en control de calidad, el número de votos a favor en una encuesta, los que responden en un ensayo clínico, predecir el total de victorias en deportes — cualquier estadística que 'repite éxito/fracaso'.
De dónde viene
El nombre para los ensayos repetidos de éxito/fracaso (ensayos de Bernoulli) viene de Jacob Bernoulli en el siglo XVII, y junto con su 'ley de los grandes números' se convirtió en una piedra angular de la probabilidad.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la probabilidad de 2 caras en 2 lanzamientos de moneda? (p=1/2)
- 1/4✓
- 1/2
- 1/8
- 3/8
Práctica
Encuentra la probabilidad de exactamente 2 caras en 3 lanzamientos de moneda, como decimal. (p=1/2)
Respuesta: 0.375
- ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8)
- = 3/8 = 0.375
Idea clave: No olvides el número de colocaciones ₃C₂=3.
Encuentra la media np de una distribución binomial con n=5, p=0.5.
Respuesta: 2.5
- Media = np = 5·0.5
- = 2.5
Idea clave: La media de una distribución binomial siempre es np.
Para un lanzamiento de dado, encuentra la probabilidad de sacar un 6 (éxito), como decimal. (n=1, p=1/6)
Respuesta: 0.167
- ₁C₁·(1/6)¹·(5/6)⁰ = 1/6
- ≈ 0.167
Idea clave: Con n=1, la binomial se reduce a una sola probabilidad de éxito.
Explica por qué P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=n)=1.
Respuesta: undefined
- El número de éxitos debe ser alguno entre 0 y n
- Sumar todos los casos no deja nada fuera
- La probabilidad total siempre es 1
Idea clave: Las probabilidades de todos los resultados posibles suman 1.