Semejanza
“La semejanza es 'misma forma, distinto tamaño' — esa diferencia de tamaño es el factor de escala.”
La fórmula
a : a' = b : b' = c : c' = kCómo leerla: las razones de los lados correspondientes son todas iguales — esa razón constante k es el factor de escala
- a, b, c / a', b', c'
- — los lados correspondientes de las dos figuras
- k
- — la razón de las longitudes de los lados correspondientes (el factor de escala)
El gancho
Aun con tamaños diferentes, 'la misma forma' es algo que las matemáticas capturan con precisión mediante una sola razón.
En palabras simples
Que dos figuras sean semejantes significa que todos los ángulos correspondientes son iguales y todos los lados correspondientes son el mismo múltiplo (k veces) uno del otro.
La intuición
Piensa en acercar o alejar el zoom de una foto. Cada parte crece o se reduce por el mismo factor, así que la forma se mantiene. Ese 'factor constante único' es el factor de escala k. Los ángulos se mantienen fijos sin importar el zoom.
Cómo se construye
Se divide en dos ejes — ① todos los ángulos correspondientes son iguales (se conserva la forma), ② todas las razones de lados correspondientes son iguales a k (solo cambia el tamaño). Y, crucialmente, si la longitud se escala por k, el área se escala por k².
Ejemplo
Dos triángulos con factor de escala 2: si un lado del pequeño es 3, el lado correspondiente del grande es 6. El área no crece por 2 sino por 2² = 4.
Error común
Un factor de escala de 2 NO significa que el área se duplique. La longitud se escala por k, el área por k², el volumen por k³. La gente a menudo pasa por alto esta diferencia de 'potencia de k'.
Dónde se usa
Escalas de mapas, modelos a escala frente al objeto real, medir la altura de un árbol a partir de su sombra, ampliar la resolución de una pantalla — en cualquier lugar donde el tamaño cambie pero la forma se conserve.
De dónde viene
Se dice que Tales midió la altura de una pirámide usando la razón de las sombras — el uso registrado más antiguo de la semejanza.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Para dos figuras con factor de escala 3, ¿cuál es la razón de sus áreas?
- 3
- 6
- 9✓
- 27
Práctica
Dos triángulos tienen factor de escala 2 : 3. Si un lado del triángulo pequeño es 6, ¿cuál es el lado correspondiente del grande?
Respuesta: 9
- Los lados correspondientes mantienen la razón constante 2 : 3
- 6 : x = 2 : 3 → 2x = 18 → x = 9
Idea clave: Los lados correspondientes siempre comparten la misma razón — una proporción lo resuelve.
Para dos figuras con factor de escala 1 : 4, ¿cuál es la razón de sus áreas?
Respuesta: 2
- La razón de áreas es el cuadrado del factor de escala
- 1² : 4² = 1 : 16
Idea clave: El área es el factor de escala al cuadrado — 4 veces la longitud es 16 veces el área.
Para dos cubos con factor de escala 1 : 2, ¿cuál es la razón de sus volúmenes? Escribe en tu libreta por qué.
Respuesta: undefined
- El volumen es el cubo del factor de escala
- 1³ : 2³ = 1 : 8
- Porque la longitud (1D) se escala por k, el área (2D) por k², el volumen (3D) por k³
Idea clave: Cada paso hacia arriba en dimensión aumenta en uno el exponente del factor de escala.