La ecuación de la circunferencia
“La ecuación de una circunferencia es 'distancia r al centro', escrita con Pitágoras.”
La fórmula
(x − a)² + (y − b)² = r²Cómo leerla: todos los puntos (x, y) a una distancia constante r del centro (a, b) forman la circunferencia
- (a, b)
- — las coordenadas del centro
- r
- — el radio — la distancia del centro a la circunferencia
- (x, y)
- — cualquier punto que está sobre la circunferencia
El gancho
Una circunferencia es 'el conjunto de puntos igual de lejos de un centro' — la ecuación de la circunferencia es justo esa frase escrita en coordenadas.
En palabras simples
Los puntos (x,y) cuya distancia al centro (a,b) es siempre r forman la circunferencia. Escribir esa condición como ecuación da (x−a)²+(y−b)²=r².
La intuición
La distancia del centro a un punto es la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por el desnivel horizontal (x−a) y el vertical (y−b). Por Pitágoras, esa hipotenusa al cuadrado es (x−a)²+(y−b)², e igualarla a r² dice 'la distancia es r'.
Cómo se construye
Solo necesitas dos datos: el centro y el radio. Si el centro es el origen (0,0), la ecuación se simplifica a x²+y²=r². Cuidado con los signos dentro — un centro en (2,−3) da (x−2)²+(y+3)².
Ejemplo
Una circunferencia centrada en (0,0) con radio 5 es x²+y²=25. Sustituye (3,4): 9+16=25 → verdadero, así que (3,4) está sobre esta circunferencia.
Error común
El lado derecho de (x−a)²+(y−b)²=r² es r², no r. Una circunferencia de radio 5 tiene 25 en el lado derecho, no 5. Y los signos del centro aparecen invertidos dentro de la ecuación.
Dónde se usa
Posicionamiento GPS (intersección de circunferencias), alcance de radar, detección de colisiones, curvas en gráficos por computadora — dondequiera que importe 'una distancia fija a un centro'.
De dónde viene
La geometría analítica — tratar figuras con coordenadas y ecuaciones — fue abierta por Descartes. La ecuación de la circunferencia es un ejemplo emblemático de 'resolver un problema geométrico mediante cálculo'.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la ecuación de una circunferencia centrada en (0,0) con radio 3?
- x² + y² = 3
- x² + y² = 6
- x² + y² = 9✓
- (x−3)² + y² = 0
Práctica
Para una circunferencia centrada en (1,2) con radio 4, ¿cuál es el lado derecho (r²)?
Respuesta: 16
- El lado derecho es el radio al cuadrado
- r² = 4² = 16
Idea clave: El lado derecho es r², no r.
En la circunferencia x²+y²=25, halla el valor positivo de y en el punto (3, y).
Respuesta: 4
- 3² + y² = 25 → 9 + y² = 25
- y² = 16 → y = 4 (y>0)
Idea clave: Sustituye un punto para comprobar si pertenece y hallar coordenadas.
Para la circunferencia centrada en (2,−3) con radio √5, ¿cuál es el lado derecho de (x−2)²+(y+3)²=?
Respuesta: 5
- Lado derecho = r² = (√5)²
- = 5
Idea clave: Incluso un radio irracional puede dar un r² limpio.
Una circunferencia tiene (0,0) y (6,0) como los dos extremos de un diámetro. Encuentra su centro y radio.
Respuesta: undefined
- El centro es el punto medio: ((0+6)/2, 0) = (3,0)
- El radio es la mitad del diámetro: 6/2 = 3
Idea clave: El punto medio del diámetro es el centro; la mitad del diámetro es el radio.