Dispersión: varianza y desviación estándar
“La desviación estándar es 'qué tan lejos de la media, en promedio'.”
La fórmula
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / nCómo leerla: la varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado de cada valor respecto a la media, y su raíz cuadrada es la desviación estándar
- xᵢ − x̄
- — la desviación: qué tan lejos está un valor de la media
- (xᵢ − x̄)²
- — la desviación al cuadrado (elevar al cuadrado elimina el signo)
- σ²
- — la varianza: el promedio de las desviaciones al cuadrado
- σ
- — la desviación estándar: la raíz cuadrada (positiva) de la varianza
El gancho
Dos conjuntos de datos pueden tener la misma media y aun así ser completamente distintos en 'cuán dispersos' están: la varianza y la desviación estándar son las reglas para medir esa dispersión.
En palabras simples
El promedio de las desviaciones al cuadrado de cada valor respecto a la media es la varianza; su raíz cuadrada es la desviación estándar.
La intuición
La media es el centro de la diana, y la desviación estándar es cuán lejos caen las flechas del centro, en promedio. Si es pequeña, los datos están muy agrupados; si es grande, están muy dispersos.
Cómo se construye
① Halla la media, ② halla cada desviación (valor − media), ③ las desviaciones siempre suman 0, así que elévalas al cuadrado para eliminar el signo y promedia → varianza, ④ elevar al cuadrado infló las unidades, así que toma la raíz cuadrada para recuperarlas → desviación estándar.
Ejemplo
Datos 3, 4, 5, 6, 7 → media 5. Desviaciones −2, −1, 0, 1, 2; los cuadrados 4, 1, 0, 1, 4 suman 10. Varianza = 10/5 = 2, desviación estándar = √2 ≈ 1.41.
Error común
Promediar las desviaciones sin más siempre da 0, así que no puede medir la dispersión; por eso las elevamos al cuadrado. Además, la varianza queda en unidades al cuadrado (por ejemplo, puntos²), así que para hablar en las unidades originales se usa la desviación estándar.
Dónde se usa
Qué tan parejas caen las notas de un examen, cuán estable es la calidad de un producto, el riesgo de una inversión (volatilidad): miden la 'estabilidad que la media por sí sola oculta'.
De dónde viene
El nombre y el símbolo de la desviación estándar los introdujo Karl Pearson a finales del siglo XIX; esta herramienta para capturar la dispersión en un solo número se convirtió en un pilar de la estadística moderna.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Si un conjunto de datos tiene una varianza de 9, ¿cuál es su desviación estándar?
- 3✓
- 4.5
- 9
- 81
Práctica
¿Cuál es la varianza de los datos 4, 4, 4, 4?
Respuesta: 0
- Todos los valores son iguales a la media, 4
- Todas las desviaciones son 0 → varianza 0
Idea clave: Si todos los valores son iguales, no hay dispersión, así que la varianza es 0.
¿Cuál es la varianza de los datos 2, 4, 6, 8, 10?
Respuesta: 8
- Media = 30/5 = 6
- Desviaciones −4, −2, 0, 2, 4; los cuadrados 16, 4, 0, 4, 16 suman 40
- 40 / 5 = 8
Idea clave: Media → desviación → cuadrado → promedio, en ese orden.
Encuentra la varianza y la desviación estándar de los datos 1, 2, 3, 4, 5.
Respuesta: undefined
- Media = 3
- Desviaciones −2, −1, 0, 1, 2; los cuadrados suman 10
- Varianza = 10/5 = 2, desviación estándar = √2 ≈ 1.41
Idea clave: La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y así recupera las unidades originales.