Decimales periódicos
“Un decimal periódico es una fracción con otra ropa.”
La fórmula
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99Cómo leerla: un dígito que se repite se convierte en el dígito sobre 9; dos dígitos que se repiten se convierten en ellos sobre 99
- 0.ddd…
- — un decimal periódico donde un dígito d se repite para siempre
- d/9
- — el dígito que se repite dividido entre 9
- ab/99
- — si se repite un bloque de dos dígitos ab, divide entre 99
El gancho
Un decimal que sigue para siempre como 1/3 = 0.333… en realidad es solo una fracción con otra cara.
En palabras simples
Un decimal donde el mismo bloque de dígitos se repite para siempre después del punto. Siempre se puede convertir de nuevo en una fracción.
La intuición
Divide 1 entre 3 y el residuo sigue repitiéndose en el mismo patrón, dando 0.333…. Solo hay un número finito de residuos posibles, así que una repetición es inevitable — por eso toda fracción se convierte en un decimal que termina o se repite.
Cómo se construye
El truco para convertir de vuelta: sea x = 0.ddd…, multiplica por 10 y resta. Para x=0.333…, 10x=3.333…, 10x−x=3, 9x=3, x=3/9=1/3. De ahí viene la regla del 'dígito sobre tantos 9 como lugares que se repiten'.
Ejemplo
Convierte 0.777… en fracción. x=0.777…, 10x=7.777…, resta para obtener 9x=7, así que x=7/9. Y en efecto 7÷9=0.777….
Error común
0.999… no es simplemente 'cercano' a 1 — es exactamente 1. Si x=0.999…, entonces 10x−x=9, así que 9x=9 y x=1. Es solo una segunda manera de escribir el mismo número.
Dónde se usa
Convertir entre fracciones y decimales, averiguar la identidad de un decimal en tu calculadora, y entender por qué todo racional es un decimal que 'termina o se repite'.
De dónde viene
Que dividir una fracción produzca un residuo cíclico se conoce desde hace mucho tiempo, y la notación se decidió por marcar el bloque que se repite con un punto o una barra encima.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Escrito como fracción, ¿qué es 0.555…?
- 5/9✓
- 5/10
- 1/5
- 5/99
Práctica
Escrito como fracción, ¿qué es 0.888…?
Respuesta: 0
- Un dígito 8 se repite → ponlo sobre 9
- 0.888… = 8/9
Idea clave: Un decimal periódico de un dígito es ese dígito sobre 9.
Escrito como fracción, ¿qué es 0.121212…?
Respuesta: 0
- El bloque de dos dígitos 12 se repite → ponlo sobre 99
- 0.121212… = 12/99
Idea clave: Dos dígitos que se repiten van sobre 99 (un 9 por cada lugar que se repite).
Convierte 0.444… en fracción.
Respuesta: undefined
- Sea x = 0.444…, entonces 10x = 4.444…
- 10x − x = 4, así que 9x = 4
- x = 4/9
Idea clave: Multiplicar por 10 y restar cancela la cola que se repite.
Demuestra con un cálculo que 0.999… = 1.
Respuesta: undefined
- Sea x = 0.999…, entonces 10x = 9.999…
- 10x − x = 9.999… − 0.999… = 9
- 9x = 9 → x = 1
Idea clave: 0.999… y 1 son dos notaciones para el mismo número.