Vectores
“Un vector es una flecha: 'cuánto' más 'hacia dónde'.”
La fórmula
|v| = √(x² + y²)Cómo leerla: la magnitud de un vector es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por su parte horizontal x y su parte vertical y
- v
- — un vector: una cantidad con magnitud y dirección
- (x, y)
- — las componentes del vector (las cantidades horizontal y vertical)
- |v|
- — la magnitud (longitud) del vector
El gancho
Velocidad, fuerza, viento: algunas cantidades necesitan más que 'cuánto'; también necesitan 'en qué dirección'. Eso es un vector.
En palabras simples
Un vector es una flecha que lleva magnitud y dirección a la vez. Moverse x hacia el lado e y hacia arriba se escribe (x,y).
La intuición
Un vector es un 'desplazamiento', no un 'lugar'. Sin importar dónde empiece, una flecha que va 3 a la derecha y 4 hacia arriba es el mismo vector. Sumar dos vectores significa pegar la segunda flecha en la punta de la primera, por eso simplemente sumas componente a componente.
Cómo se construye
La magnitud del vector (x,y) es la distancia del origen a ese punto: la hipotenusa de un triángulo rectángulo, así que por Pitágoras es √(x²+y²). La suma funciona por componentes: (x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂).
Ejemplo
La magnitud de v=(3,4) es √(3²+4²)=√(9+16)=√25=5. La flecha que va 3 a la derecha y 4 hacia arriba mide exactamente 5.
Error común
La magnitud de un vector NO es x+y. El tamaño de (3,4) es 5, no 7: es una longitud diagonal, así que debes elevar al cuadrado, sumar y luego sacar la raíz.
Dónde se usa
Fuerza, velocidad y aceleración en física; el movimiento de personajes en videojuegos; rumbos de navegación; gráficos 3D: en cualquier lugar donde manejes 'cantidades con dirección'.
De dónde viene
La idea de vector se perfeccionó en la física del siglo XIX (especialmente el electromagnetismo) para manejar fuerza y velocidad; Hamilton y Gibbs fijaron la notación actual.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es la magnitud del vector (3, 4)?
- 5✓
- 7
- 12
- 25
Práctica
Encuentra la magnitud del vector (6, 8).
Respuesta: 10
- √(6² + 8²) = √(36 + 64)
- = √100 = 10
Idea clave: La magnitud eleva las componentes al cuadrado, las suma y luego saca la raíz.
Encuentra la componente x del vector (1, 2) + (3, 4).
Respuesta: 4
- Suma componente a componente
- componente x: 1 + 3 = 4
Idea clave: La suma de vectores se hace componente a componente.
Encuentra la magnitud del vector (5, 0).
Respuesta: 5
- √(5² + 0²) = √25
- = 5
Idea clave: Un vector a lo largo de un eje tiene una magnitud igual a esa componente.
Explica por qué (−3, 4) tiene la misma magnitud que (3, 4).
Respuesta: undefined
- |(−3,4)| = √((−3)² + 4²) = √(9+16) = 5
- Elevar al cuadrado elimina el signo
- Solo la dirección difiere; la longitud es la misma
Idea clave: La magnitud descarta la dirección (el signo) y mide solo la longitud.