Números complejos
“i es un 'giro de 90°', y girar dos veces te lleva a −1.”
La fórmula
i² = −1, z = a + biCómo leerla: introduce un número i cuyo cuadrado es −1, y construye z a partir de una parte real a y una parte imaginaria b
- i
- — la unidad imaginaria: un número cuyo cuadrado es −1
- a
- — la parte real: la porción 'real' de z
- bi
- — la parte imaginaria: un número real b multiplicado por i
El gancho
Ante el muro de 'ningún número al cuadrado da un negativo', los matemáticos simplemente inventaron uno que sí lo hace — la unidad imaginaria i.
En palabras simples
Introduce un nuevo número i cuyo cuadrado es −1, y todo número puede escribirse como a+bi, una parte real a más una parte imaginaria bi. Eso es un número complejo.
La intuición
Los números reales viven en una recta numérica 1D. Los números complejos añaden un segundo eje (el eje imaginario) y se extienden a un plano 2D. Multiplicar por i rota un punto 90° en ese plano — así que multiplicar por i dos veces (un giro de 180°) invierte la dirección y cae en −1.
Cómo se construye
Un número complejo z=a+bi tiene dos piezas: la parte real a y la parte imaginaria b. Se suma combinando las partes reales e imaginarias por separado; se multiplica con la propiedad distributiva, y cada vez que aparece i², se reemplaza por −1. Esa única regla i²=−1 impulsa cada cálculo.
Ejemplo
(2+i)(2−i) = 2² − (i)² = 4 − i² = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5. La parte imaginaria desaparece y queda un número real limpio.
Error común
i no es un 'número falso que no existe'. El nombre 'imaginario' es engañoso, pero los números complejos son herramientas esenciales para manejar cantidades físicas reales en electrónica y mecánica cuántica.
Dónde se usa
La corriente alterna y el procesamiento de señales, la mecánica cuántica, la simulación de fluidos y electromagnética, los fractales — los números complejos brillan donde se entrelazan la rotación y las ondas.
De dónde viene
En el siglo XVI, Cardano se topó con raíces cuadradas de negativos al resolver ecuaciones cúbicas; durante mucho tiempo descartados como 'imaginarios', se convirtieron en números respetables gracias a Euler y Gauss.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es i²?
- 1
- −1✓
- i
- −i
Práctica
Encuentra la parte real de (3 + 2i) + (1 + 4i).
Respuesta: 4
- Suma las partes reales: 3 + 1 = 4
- (la parte imaginaria es 2+4=6i)
Idea clave: Suma los números complejos por partes reales e imaginarias por separado.
Encuentra el valor de i⁴.
Respuesta: 1
- i⁴ = (i²)² = (−1)²
- = 1
Idea clave: Las potencias de i se repiten cada 4 pasos.
Encuentra el valor de (2 + i)(2 − i).
Respuesta: 5
- Diferencia de cuadrados: 2² − i²
- = 4 − (−1) = 5
Idea clave: Un número complejo multiplicado por su conjugado da un número real.
Encuentra i³ y muestra tus pasos.
Respuesta: undefined
- i³ = i²·i
- = (−1)·i = −i
Idea clave: La única regla i²=−1 resuelve toda potencia de i.