Razones trigonométricas
“Las razones trigonométricas son un conversor que transforma un ángulo en una razón entre lados.”
La fórmula
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adjCómo leerla: en un triángulo rectángulo, respecto a un ángulo θ, las razones entre el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa
- sin θ
- — el cateto opuesto a θ ÷ la hipotenusa
- cos θ
- — el cateto adyacente a θ ÷ la hipotenusa
- tan θ
- — el cateto opuesto a θ ÷ el cateto adyacente a θ (= la pendiente)
El gancho
La altura de una montaña o el ancho de un río que no puedes medir directamente: los hallas a partir de un solo ángulo y una razón. Eso es la trigonometría.
En palabras simples
Elige un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo, y las razones entre sus lados quedan fijadas solo por ese ángulo. Esas razones son sin, cos y tan.
La intuición
Los triángulos rectángulos semejantes tienen las mismas 'razones' entre sus lados aunque tengan tamaños distintos. Así que mientras θ sea el mismo, el triángulo puede ser grande o pequeño y sin, cos, tan se mantienen idénticos. El ángulo mismo fija 'la razón entre los lados'.
Cómo se construye
Nombra los tres lados respecto a θ: opuesto (altura), adyacente (base), hipotenusa. sin es opuesto/hipotenusa, cos es adyacente/hipotenusa, tan es opuesto/adyacente. tan es también, simplemente, la 'pendiente' de ese ángulo.
Ejemplo
En un triángulo rectángulo 3-4-5, sea θ el ángulo opuesto al lado de longitud 3: sin θ = 3/5 = 0.6, cos θ = 4/5 = 0.8, tan θ = 3/4 = 0.75.
Error común
Es fácil confundir 'opuesto' y 'adyacente' en sin y cos. La clave es que cuál lado es opuesto o adyacente depende de dónde está el ángulo de referencia θ.
Dónde se usa
Medir alturas de montañas y distancias por triangulación, la inclinación de una rampa, vibraciones, ondas, sonido, incluso rotaciones en gráficos por computadora: el puente entre ángulos y longitudes.
De dónde viene
Los astrónomos de la antigua Grecia y la India construyeron 'tablas de cuerdas' para medir distancias a partir de los ángulos de las estrellas sobre el horizonte: el origen de la trigonometría.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es el valor de sin 30°?
- 0.5✓
- 0.707
- 0.866
- 1
Práctica
¿Cuál es el valor de tan 45°?
Respuesta: 1
- 45° proviene de un triángulo rectángulo isósceles: el cateto opuesto y el adyacente son iguales
- tan 45° = opuesto/adyacente = 1/1 = 1
Idea clave: Una tan de 1 significa que el opuesto es igual al adyacente: una pendiente de 45°.
En un triángulo rectángulo 3-4-5, sea θ el ángulo opuesto al lado de longitud 3. ¿Cuánto es cos θ?
Respuesta: 0.8
- opuesto a θ = 3, adyacente a θ = 4, hipotenusa = 5
- cos θ = adyacente/hipotenusa = 4/5
- = 0.8
Idea clave: cos es 'adyacente ÷ hipotenusa': elige el lado que toca al ángulo de referencia.
Encuentra el valor aproximado de sin 60°. Escribe en tu cuaderno por qué es √3/2.
Respuesta: 0.87
- Corta a la mitad un triángulo equilátero de lado 2 para obtener un triángulo 30°-60°-90°
- hipotenusa 2, base 1, altura √3
- sin 60° = altura/hipotenusa = √3/2 ≈ 0.866
Idea clave: La razón de los lados de un triángulo 30°-60°-90° es 1 : √3 : 2, vale la pena memorizarla.