Valor esperado y varianza
“El valor esperado es un 'promedio a largo plazo' ponderado por probabilidad.”
La fórmula
E(X) = Σ xᵢ pᵢCómo leerla: el valor esperado multiplica cada resultado posible por su probabilidad y los suma — el promedio a largo plazo
- xᵢ
- — cada valor posible (resultado)
- pᵢ
- — la probabilidad de que ocurra ese valor
- E(X)
- — el valor esperado — el promedio ponderado por probabilidad
El gancho
Lanza un dado — ¿cuál es el número promedio? 3.5 — un valor que nunca sale realmente es el 'valor esperado'.
En palabras simples
Cuando conoces las probabilidades de los resultados, es cada valor por su probabilidad, todo sumado. Repítelo muchísimas veces y es el 'promedio a largo plazo' al que todo se acerca.
La intuición
El valor esperado es un centro de masa que usa las probabilidades como pesos. Los valores frecuentes (p grande) tiran más fuerte del promedio. Así que no te dice ningún resultado en particular, sino 'en promedio, a largo plazo, cuánto'. La varianza mide qué tan dispersos están los valores alrededor de ese promedio.
Cómo se construye
E(X)=Σ xᵢpᵢ suma 'valor × probabilidad'. La varianza V(X) promedia la distancia al cuadrado de cada valor respecto a la media, y crece con la dispersión. La desviación estándar toma la raíz de la varianza para volver a las unidades originales.
Ejemplo
Un dado justo: E(X) = 1·(1/6)+2·(1/6)+…+6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5.
Error común
El valor esperado no es ni el 'valor más frecuente' ni un valor que realmente ocurra. El valor esperado de un dado, 3.5, ni siquiera está en una cara — es puramente un 'promedio a largo plazo'.
Dónde se usa
Fijar precios de seguros y loterías, retornos esperados de inversión, balance en el diseño de juegos, criterios de toma de decisiones — dondequiera que se mida el 'valor promedio de un resultado incierto'.
De dónde viene
La idea de valor esperado nació en el trabajo del siglo XVII de Pascal, Fermat y Huygens sobre repartir apuestas 'de forma justa'.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es el valor esperado de un dado justo?
- 3
- 3.5✓
- 4
- 6
Práctica
Un juego de monedas paga 1000 wones por cara y 0 por cruz. Encuentra el valor esperado.
Respuesta: 500
- E(X) = 1000·(1/2) + 0·(1/2)
- = 500 + 0 = 500
Idea clave: Valor esperado = Σ(valor × probabilidad).
X toma los valores 1, 2, 3 con probabilidades 1/2, 1/4, 1/4. Encuentra E(X).
Respuesta: 1.75
- E(X) = 1·(1/2) + 2·(1/4) + 3·(1/4)
- = 0.5 + 0.5 + 0.75 = 1.75
Idea clave: El promedio se ve arrastrado hacia los valores de mayor probabilidad.
Calcula directamente el valor esperado de un dado justo.
Respuesta: 3.5
- (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6
- = 3.5
Idea clave: Con probabilidades iguales, el valor esperado es simplemente el promedio.
Explica en una línea por qué la varianza mide la 'dispersión' de los datos.
Respuesta: undefined
- Promedia la distancia al cuadrado de cada valor respecto a la media
- Cuanto más dispersos, mayores esas distancias al cuadrado
- Así que una varianza grande significa datos muy dispersos
Idea clave: La varianza es 'qué tan lejos se dispersan los valores respecto a la media'.