Cadenas de Márkov
“Una cadena de Márkov es un movimiento sin memoria — saber 'dónde estás ahora' es todo lo que hace falta para fijar lo que viene.”
La fórmula
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πCómo leerla: A dónde vas después depende solo de 'dónde estás ahora', no del camino pasado que seguiste para llegar ahí
- Xₙ
- — El estado (posición) en el paso n
- P
- — Matriz de transición — la tabla de probabilidades de pasar de cada estado al siguiente
- π
- — Distribución estacionaria — la fracción de tiempo a largo plazo pasada en cada estado
El gancho
No necesitas todo el pasado para predecir el futuro — una cadena de Márkov es un mundo sin memoria donde saber 'dónde estás ahora' es suficiente.
En palabras simples
Es un proceso que salta aleatoriamente entre estados, donde la probabilidad del siguiente estado depende solo del estado actual y para nada del camino seguido para llegar ahí. Esta 'ausencia de memoria' es la propiedad de Márkov.
La intuición
Piensa en una ficha de juego de mesa — la siguiente casilla la determina tu casilla actual y una tirada de dado; cómo llegaste ahí no importa. Un modelo del clima es el caso clásico: saber solo 'hoy está soleado/lluvioso' fija las probabilidades de mañana, y la semana pasada se puede olvidar. Escribe la probabilidad de pasar de cada estado al siguiente como una tabla (la matriz de transición) y todo el sistema queda especificado.
Cómo se construye
La herramienta clave es la matriz de transición P — cada fila es un 'estado actual', sus entradas son probabilidades de pasar al siguiente estado, así que cada fila suma 1. Multiplica la distribución actual por P para obtener la distribución un paso después. Repite lo suficiente y se asienta en una distribución estacionaria π que ya no cambia, que se halla resolviendo πP = π.
Ejemplo
Clima: soleado→soleado 0.8, soleado→lluvioso 0.2, lluvioso→soleado 0.6, lluvioso→lluvioso 0.4, es decir P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]]. Para que la estacionaria π=(s,r) con s+r=1 cumpla πP=π: s=0.8s+0.6r → 0.2s=0.6r → s=3r. Combinado con s+r=1: r=0.25, s=0.75. A largo plazo, 75% de días soleados, 25% lluviosos.
Error común
'Sin memoria' no significa que 'el pasado no tiene efecto en el resultado' — el pasado ya está resumido dentro del estado actual. Es solo que, una vez que conoces el presente, los detalles anteriores no añaden más información.
Dónde se usa
Google PageRank (navegar la web como cadena de Márkov), predicción de voz y texto, transiciones de calificación crediticia en finanzas, análisis de secuencias genéticas, transiciones de estado en aprendizaje por refuerzo — donde sea que el siguiente paso se fije probabilísticamente solo a partir del estado actual.
De dónde viene
En 1906 Andréi Márkov la introdujo mientras investigaba si la ley de los grandes números se cumple sin independencia. Analizó la cadena de letras en la poesía rusa (Pushkin) como ejemplo concreto.
Requisitos previos
Comprobación rápida
En una cadena de Márkov, ¿de qué depende la probabilidad del siguiente estado?
- todos los estados pasados visitados
- solo el estado actual✓
- solo el estado inicial de partida
- de nada en absoluto
Práctica
Hoy está soleado y P(soleado→lluvioso) = 0.3. En una cadena de Márkov, ¿cuál es la probabilidad de lluvia mañana?
Respuesta: 0.3
- El siguiente estado depende solo del estado actual (hoy = soleado)
- La probabilidad soleado→lluvioso es simplemente 0.3
Idea clave: Una predicción de un paso solo lee la probabilidad de transición desde el estado actual.
Para la matriz de transición P=[[0.5,0.5],[0.5,0.5]], halla la fracción del estado A en la distribución estacionaria.
Respuesta: 0.5
- Desde cualquier estado el siguiente es A 0.5, B 0.5
- Por simetría perfecta la distribución estacionaria es (0.5, 0.5)
- Fracción del estado A = 0.5
Idea clave: Una matriz de transición simétrica tiene una distribución estacionaria uniforme — 0.5 cada una.
Para P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]], halla la fracción a largo plazo s del estado 1 (soleado) en la distribución estacionaria.
Respuesta: 0.75
- De πP=π: s = 0.8s + 0.6r
- 0.2s = 0.6r → s = 3r
- s + r = 1 → 3r + r = 1 → r = 0.25, s = 0.75
Idea clave: Resuelve las dos ecuaciones juntas — πP=π y el total = 1 — para obtener la distribución estacionaria.
Explica en tu cuaderno por qué 'una cadena de Márkov no tiene memoria' es distinto de 'el pasado no tiene sentido'.
Respuesta: undefined
- La siguiente probabilidad queda determinada dando solo el estado actual (ausencia de memoria)
- Pero el estado actual fue producido a su vez por el pasado
- Así que el pasado ya está incorporado en el resumen llamado 'ahora' — dado el presente, los detalles anteriores son redundantes
Idea clave: Ausencia de memoria = 'el presente es un resumen suficiente del pasado' — el pasado no carece de sentido.