Eventos complementarios
“Para 'al menos uno', resta 'ninguno en absoluto' de 1.”
La fórmula
P(Aᶜ) = 1 − P(A)Cómo leerla: la probabilidad de que A no ocurra es 1 menos la probabilidad de que A ocurra
- A
- — un evento cualquiera
- Aᶜ
- — el evento de que A no ocurra (su complemento)
- 1 − P(A)
- — la probabilidad total 1 menos la probabilidad de que A ocurra
El gancho
Una probabilidad difícil de contar directamente — como 'al menos uno' — a menudo se resuelve en cuanto la volteas: 1 menos 'ninguno en absoluto'.
En palabras simples
La probabilidad de que algo NO ocurra es la probabilidad total 1 menos la probabilidad de que sí ocurra.
La intuición
Que algo ocurra y que no ocurra juntos siempre suman 100% (=1). Las dos porciones llenan el círculo completo, así que en cuanto conoces una, la otra es simplemente 1 menos esa.
Cómo se construye
Un evento A y su complemento Aᶜ nunca se superponen (no pueden ocurrir ambos) y juntos cubren todo. Así que P(A)+P(Aᶜ)=1, y reordenando, P(Aᶜ)=1−P(A).
Ejemplo
Probabilidad de 'al menos una cara' en tres lanzamientos de moneda: el complemento es 'todas cruz', que es 1/8. Así que 1 − 1/8 = 7/8.
Error común
El complemento no es 'menos que A' — es 'todo excepto A'. Lo opuesto de 'al menos uno' no es 'a lo sumo uno' sino 'ninguno en absoluto'.
Dónde se usa
Los problemas de 'al menos ~' y 'al menos una vez' casi siempre se resuelven más rápido con el complemento. Especialmente útil al invertir el éxito y el fracaso a lo largo de muchos intentos.
De dónde viene
La idea de que ocurrir y no ocurrir suman 1 surgió naturalmente de la probabilidad temprana, que trataba el total como 1 y lo dividía en partes.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Si la probabilidad de lluvia mañana es 0.3, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva?
- 0.3
- 0.5
- 0.7✓
- 1
Práctica
Si la probabilidad de un evento es 0.25, ¿cuál es la probabilidad de que no ocurra?
Respuesta: 0.75
- P(ocurre) = 0.25
- 1 − 0.25 = 0.75
Idea clave: P(no ocurre) = 1 − P(ocurre).
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de NO obtener un 1?
Respuesta: 3
- P(obtener un 1) = 1/6
- 1 − 1/6 = 5/6
Idea clave: 'No' es el complemento — resta de 1.
Usando el complemento, encuentra la probabilidad de 'al menos una cara' en dos lanzamientos de moneda.
Respuesta: undefined
- El complemento 'todas cruz' = 1/4
- 1 − 1/4 = 3/4
Idea clave: Para 'al menos uno', es más rápido contar lo opuesto ('ninguno en absoluto').